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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{} \bruch{2x^5-9x^4+16x^3-11x^2+3x+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}\, [/mm] dx |
Hallöchen:)
Also hab das erstmal aufgelöst in eine ganzrationale und eine echt gebrochenrationale funktion durch Polynomdivision
[mm] \integral_{}^{}2x-3+\bruch{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x} \, [/mm] dx
Dann hab ich den Nenner in Linearfaktoren zerlegt und erhalte:
[mm] (x-1)^2*(x)*(x-1) [/mm]
An dieser Stelle weiß ich nich so ganz wie die Vorgehensweise is Linearfaktoren zu finden aber glaube das is so richtig habs halt so gemacht,dass ich eine Nullstelle geraten habe und dann Polynomdivision...funtioniert das universal?
Und außerdem weiß ich jetz nicht genau wie ich weitermache, also die teile überm Bruch finde:)
Danke euch mathefreak
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Hallo mathefreak89,
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{2x^5-9x^4+16x^3-11x^2+3x+1}{x^4-3x^3+3x^2-x}\,[/mm] dx
>
> Hallöchen:)
>
> Also hab das erstmal aufgelöst in eine ganzrationale und
> eine echt gebrochenrationale funktion durch
> Polynomdivision
>
> [mm]\integral_{}^{}2x-3+\bruch{x^3+1}{x^4-3x^3+3x^2-x} \,[/mm] dx ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann hab ich den Nenner in Linearfaktoren zerlegt und
> erhalte:
>
> [mm](x-1)^2*(x)*(x-1)[/mm]
[mm]=x\cdot{}(x-1)^3[/mm]
>
> An dieser Stelle weiß ich nich so ganz wie die
> Vorgehensweise is Linearfaktoren zu finden aber glaube das
> is so richtig habs halt so gemacht,dass ich eine Nullstelle
> geraten habe und dann Polynomdivision...funtioniert das
> universal?
Das ist alles ok bisher!
>
> Und außerdem weiß ich jetz nicht genau wie ich
> weitermache, also die teile überm Bruch finde:)
Nun mache für den gebrochen-rationalen Teil den Ansatz:
[mm]\frac{x^3+1}{x\cdot{}(x-1)^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}+\frac{D}{(x-1)^3}[/mm]
Mache rechterhand gleichnamig, sortiere im Zähler nach Potenzen von [mm]x[/mm] und mache einen Koeffizientenvergleich in den Zählern linker- und rechterhand.
>
> Danke euch mathefreak
Gruß
schachuzipus
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die nenner haben sich dann ja quasi weggekürzt bei mir jetz...
bin bei folgender Form:
[mm] x^3+1=A(x-1)^3+B(x)(x-1)^2+C(x)(x-1)+D(x)
[/mm]
Hab halt alles bissl gekürzt und so
Wenn ich jetz x=1 setze erhalte ich ja D=1
aber dann steh ich aufn schlauch:(
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Hallo nochmal,
> die nenner haben sich dann ja quasi weggekürzt bei mir
> jetz...
>
> bin bei folgender Form:
>
> [mm]x^3+1=A(x-1)^3+B(x)(x-1)^2+C(x)(x-1)+D(x)[/mm]
>
> Hab halt alles bissl gekürzt und so
>
> Wenn ich jetz x=1 setze erhalte ich ja D=1
Ich komme rechnerisch auf $D=2$
>
> aber dann steh ich aufn schlauch:(
Ich halte nix von der Einsetzmethode (puuh Polstellen einsetzen ...)und habe es verrechnet wie oben beschrieben.
Damit komme ich auf [mm]x^3+1=(A+B)x^3+(-3A-2B+C)x^2+(3A+B-C+D)x-A[/mm]
Also
(1) [mm]A+B=1[/mm]
(2) [mm]-3A-2B+C=0[/mm]
(3) [mm]3A+B-C+D=0[/mm]
(4) [mm]-A=1[/mm]
Damit direkt zu [mm]A=-1[/mm] und weiter wegen [mm]A+B=1[/mm] zu [mm]B=2[/mm]
Und weiter mit (2) direkt zu [mm]C=1[/mm] und schließlich mit (3) zu [mm]D=2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich versteh grad nich so ganz wie dud as mit den polstellen gemacht hast ???
bitte näher erläutern xD
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Hallo nochmal,
> Ich versteh grad nich so ganz wie dud as mit den polstellen
> gemacht hast ???
Das habe ich ja gerade eben nicht gemacht, du wolltest es machen ...
Ich halte von dieser Einsetz- oder Zuhaltemethode nix ...
Ich habe im "erweiterten" Zähler rechterhand ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert ...
> bitte näher erläutern xD
Gruß
schachuzipus
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Ah ja also ich habs jetz hinbekommen in deine Form umzuwandeln:
Aber wie kommst du dann auf diese
(1) A+B=1
(2) -3A-2B+C=0
(3) 3A+B-C+D=0
(4) -A=1
aussagen?
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Hallo nochmal,
> Ah ja also ich habs jetz hinbekommen in deine Form
> umzuwandeln:
>
> Aber wie kommst du dann auf diese
>
>
> (1) A+B=1
>
> (2) -3A-2B+C=0
>
> (3) 3A+B-C+D=0
>
> (4) -A=1
>
> aussagen?
Na, das ergibt sich aus dem Koeffizientenvergleich.
Linkerhand steht doch im Zähler [mm]x^3+1=\red{1}\cdot{}x^3+\blue{0}\cdot{}x^2+\green{0}\cdot{}x+\textcolor{magenta}{1}[/mm]
Und rechterhand [mm]\red{(A+B)}\cdot{}x^3+\blue{(-3A-2B+C)}\cdot{}x^2+\green{(3A+B-C+D)}\cdot{}x+\textcolor{magenta}{(-A)}[/mm]
Damit ergeben sich durch Vergleich die Gleichungen
(1) [mm]\red{A+B=1}[/mm]
(2) [mm]\blue{-3A-2B+C=0}[/mm]
(3) [mm]\green{3A+B-C+D=0}[/mm]
(4) [mm]\textcolor{magenta}{-A=1}[/mm]
Und dieses LGS ist doch sehr schnell zu lösen, [mm]A=-1[/mm], dann wie weiter oben beschrieben durch Einsetzen (mit (1) direkt $B=2$ usw ...)
Gruß
schachuzipus
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Ah ok Jetz hab ich wusste nich so ganz was mit koeffizientenvergleich gemeint war danke dir :)
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