Partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 28.11.2011 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion einer reellen Variablen
f(x) = [mm] \bruch{x^2-1}{(x-2)(x^2+1)}
[/mm]
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von f(x). |
Da wie uns in [mm] \IR [/mm] befinden kann der Nenner nicht weiter zerlegt werden.
Für die Partialbruchzerlegung bin ich wie folgt vorgegangen
f(x) = [mm] \bruch{x^2-1}{(x-2)(x^2+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{x^2+1}
[/mm]
Um A zu bekommen, habe ich die Zuhaltemethode angewandt:
A= [mm] (2^2-1)/(2^2+1) [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
Für B und C habe ich den gesamten Term mit dem Nenner multipliziert und die linke Seite Zusammengefasst und auf die Form [mm] x^2+x+c [/mm] gebracht:
[mm] 1x^2+0x-1= \bruch{3}{5}(x^2 [/mm] +1)+(Bx+C)(x-2)
= [mm] \bruch{3}{5}x^2+\bruch{3}{5}+Bx^2-2B+Cx-2C
[/mm]
= [mm] (\bruch{3}{5}+B)x^2+Cx+\bruch{3}{5}-2C
[/mm]
Daraus ergibt sich folgendes LGS
I) 1= [mm] \bruch{3}{5}+B \gdw [/mm] B= [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
II) 0=C
III) -1= [mm] \bruch{3}{5}-2C [/mm] schon hier ergibt sich ein Widerspruch, da [mm] -1\not= \bruch{3}{5}
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast.
$ [mm] \bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+1} [/mm] $
$ [mm] \bruch{A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+1)} [/mm] $
Betrachten wir also den Zähler:
[mm] A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-2)
[/mm]
[mm] =Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx-2Bx-2C
[/mm]
[mm] =(A+B)x^{2}+(C-2B)x+A-2C
[/mm]
Also:
A+B=1
C-2B=0
A-2C=-1
Daraus bekomme ich:
A= 3/5
B= 2/5
C= 4/5
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mo 28.11.2011 | | Autor: | piet86 |
Ah, ok
ich habe mich nur verrechnet.
Gut, dass das Prinzip das richtige war.
Piet
Gruß aus HRZ
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