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Forum "Integration" - Partialbruchzerlegung
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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mo 06.02.2012
Autor: mbau16

Guten Abend,

eine Frage an Euch.

[mm] \integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx [/mm]

Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision

[mm] x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x [/mm]

[mm] (x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4-x^3+9x^2-9x^} [/mm]

1.Nullstellen im Nenner:

[mm] x_{1}=0 [/mm]

[mm] x_{2}-1=0 [/mm]

[mm] x_{2}=1 [/mm]

[mm] x^{2}_{3,4}+9=0 [/mm]

[mm] x^{2}_{3,4}=-9 [/mm]

[mm] x^{2}_{3,4}=\pm3 [/mm]

2.Zuordenung der Partialbrüche:

[mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9} [/mm]

3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):

[mm] \bruch{x^3+9x^2-9x-1}{(x)(x-1)(x^{2}-9)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9} [/mm]

4.Gleichnamig machen / kürzen:

[mm] x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x^{2}+9)+B(x)(x^{2}+9)+(C(x)+D)(x)(x-1) [/mm]

Ist das so richtig, ich denke nicht?!?

5.Einsetzmethode:

[mm] x_{1}=0 [/mm]

[mm] 0^3+9*0^2-9*0-1=-1 [/mm]

[mm] A(0-1)((-1)^{2}+9)=-10A [/mm]

[mm] A=\bruch{1}{10} [/mm]

[mm] x_{2}=1 [/mm]

[mm] 1^3+9*1*^2-9*1-1=0 [/mm]

Nochmal meine Frage, nachdem ich schon einige gute Tipps bekommen habe!

Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt? Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!

Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?

Vielen Dank!

Gruß

mbau16
        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mo 06.02.2012
Autor: MathePower

Hallo mbau16,

> Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
>  
> [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
>  Guten
> Abend,
>  
> eine Frage an Euch.
>  
> [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
>  
> Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision
>  
> [mm]x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x[/mm]
>  
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4x^3+9x^2-9x^}[/mm]

Das soll wohl so lauten:

[mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4\blue{-}x^3+9x^2-9x^}[/mm]


>  [mm]\underline{-(x^4-x^3+9x^2-9x)}[/mm]
>  [mm]x^3+9x^2-9x-1[/mm]
>  
> 1.Nullstellen im Nenner:
>  
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>  
> [mm]x_{2}-1=0[/mm]
>  
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>  
> [mm]x^{2}_{3,4}+9=0[/mm]
>  
> [mm]x^{2}_{3,4}=9[/mm]
>


Hier folgt doch zunächst: [mm]x^{2}=-9[/mm]


> [mm]x^{2}_{3,4}=\pm3[/mm]
>  
> 2.Zuordenung der Partialbrüche:
>  
> [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
>


Dieser Ansatz ist leider nicht ganz richtig.


> 3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>  
> [mm]\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x(x-1)(x-3)(x+3)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
>  
> 4.Gleichnamig machen / kürzen:
>  
> [mm]x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x-3)(x+3)+B(x)(x-3)(x+3)+C(x)(x-1)(x+3)+D(x)(x-1)(x-3)[/mm]
>  
> 5.Einsetzmethode:
>  
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>  
> [mm]0^3+9*0^2-9*0-1=-1[/mm]
>  
> A(0-1)(0-3)(0+3)=8A
>  
> [mm]A=-\bruch{1}{8}[/mm]
>  
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>  
> [mm]1^3+9*1*^2-9*1-1=0[/mm]
>  
> Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt?
> Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!
>  
> Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> mbau16
>  
>


Gruss
MathePower
Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mo 06.02.2012
Autor: mbau16

Guten Abend nochmal,
>  
> > Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
>  >  
> > [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
>  >  Guten
> > Abend,
>  >  
> > eine Frage an Euch.
>  >  
> > [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
>  >  
> > Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision
>  >  
> > [mm]x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x[/mm]
>  >  
> >
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4x^3+9x^2-9x^}[/mm]
>  
> Das soll wohl so lauten:
>  
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4\blue{-}x^3+9x^2-9x^}[/mm]
>  
>
> >  [mm]\underline{-(x^4-x^3+9x^2-9x)}[/mm]

>  >  [mm]x^3+9x^2-9x-1[/mm]
>  >  
> > 1.Nullstellen im Nenner:
>  >  
> > [mm]x_{1}=0[/mm]
>  >  
> > [mm]x_{2}-1=0[/mm]
>  >  
> > [mm]x_{2}=1[/mm]
>  >  
> > [mm]x^{2}_{3,4}+9=0[/mm]
>  >  
> > [mm]x^{2}_{3,4}=9[/mm]
>  >

>
>
> Hier folgt doch zunächst: [mm]x^{2}=-9[/mm]
>  
>
> > [mm]x^{2}_{3,4}=\pm3[/mm]
>  >  
> > 2.Zuordenung der Partialbrüche:
>  >  
> > [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
>  >

>
>
> Dieser Ansatz ist leider nicht ganz richtig.

Bei mir fällt der Groschen leider nicht, wie ist er denn richtig?
>  
>
> > 3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>  >  
> >
> [mm]\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x(x-1)(x-3)(x+3)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
>  >  
> > 4.Gleichnamig machen / kürzen:
>  >  
> >
> [mm]x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x-3)(x+3)+B(x)(x-3)(x+3)+C(x)(x-1)(x+3)+D(x)(x-1)(x-3)[/mm]
>  >  
> > 5.Einsetzmethode:
>  >  
> > [mm]x_{1}=0[/mm]
>  >  
> > [mm]0^3+9*0^2-9*0-1=-1[/mm]
>  >  
> > A(0-1)(0-3)(0+3)=8A
>  >  
> > [mm]A=-\bruch{1}{8}[/mm]
>  >  
> > [mm]x_{2}=1[/mm]
>  >  
> > [mm]1^3+9*1*^2-9*1-1=0[/mm]
>  >  
> > Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt?
> > Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!
>  >  
> > Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?
>  >  
> > Vielen Dank!
>  >  
> > Gruß
>  >  
> > mbau16
>  >  
> >
>
>
> Gruss
>  MathePower

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mo 06.02.2012
Autor: MathePower

Hallo mbau16,

> Guten Abend nochmal,


>  >  >  
> > > 2.Zuordenung der Partialbrüche:
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x-3}+\bruch{D}{x+3}[/mm]
>  >  >

> >
> >
> > Dieser Ansatz ist leider nicht ganz richtig.
>  
> Bei mir fällt der Groschen leider nicht, wie ist er denn
> richtig?


Da es bei [mm]x^{2}+9[/mm] um ein Polynom handelt,
das in [mm]\IR[/mm] keine Nullstellen hat, ist folgender Ansatz zu wählen:

[mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}}[/mm]


> > > Gruß
>  >  >  
> > > mbau16
>  >  >  
> > >
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>  


Gruss
MathePower
Bezug
        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mo 06.02.2012
Autor: MathePower

Hallo mbau16,

> Guten Abend,
>  
> eine Frage an Euch.
>  
> [mm]\integral \bruch{x^{4}-1}{x(x-1)(x^{2}+9)}*dx[/mm]
>  
> Zählergrad= Nennergrad -> Polynomdivision
>  
> [mm]x(x-1)(x^{2}+9)=x^4-x^3+9x^2-9x[/mm]
>  
> [mm](x^4-1):(x^4-x^3+9x^2-9x)=1+\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{x^4-x^3+9x^2-9x^}[/mm]
>  
> 1.Nullstellen im Nenner:
>  
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>  
> [mm]x_{2}-1=0[/mm]
>  
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>  
> [mm]x^{2}_{3,4}+9=0[/mm]
>  
> [mm]x^{2}_{3,4}=-9[/mm]
>  
> [mm]x^{2}_{3,4}=\pm3[/mm]
>  
> 2.Zuordenung der Partialbrüche:
>  
> [mm]\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}[/mm]
>  
> 3.Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>  
> [mm]\bruch{x^3+9x^2-9x-1}{(x)(x-1)(x^{2}-9)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{Cx+D}{x^{2}+9}[/mm]
>  
> 4.Gleichnamig machen / kürzen:
>  
> [mm]x^3+9x^2-9x-1=A(x-1)(x^{2}+9)+B(x)(x^{2}+9)+(C(x)+D)(x)(x-1)[/mm]
>  
> Ist das so richtig, ich denke nicht?!?
>  
> 5.Einsetzmethode:
>  
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>  
> [mm]0^3+9*0^2-9*0-1=-1[/mm]
>  
> [mm]A(0-1)((-1)^{2}+9)=-10A[/mm]
>  


Hier muss doch stehen:

[mm]A(0-1)((\red{0})^{2}+9)[/mm]


> [mm]A=\bruch{1}{10}[/mm]
>  
> [mm]x_{2}=1[/mm]
>  
> [mm]1^3+9*1*^2-9*1-1=0[/mm]
>  
> Nochmal meine Frage, nachdem ich schon einige gute Tipps
> bekommen habe!
>  
> Kann es passieren, dass dieser Wert 0 wird und B wegfällt?


Das kann passieren.


> Ich muss mich irgendwie verrechnet haben!
>  
> Könnt Ihr mal schauen on Ihr den Fehler findet?
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> mbau16

>


Gruss
MathePower  
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