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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Di 23.08.2005 | | Autor: | mana |
habe die Aufgabe in keiner anderen Internetseite gestellt:
Aufgabe lautet: Stelle als Summe von Partialbrüchen da!
[mm] x^2+4x+5/(x^2+2x+4)(x+3)
[/mm]
mein Ansatz:
Zähler: durch Binomische Ergänzung
[mm] x^2+4x+2^2-2^2+5=(x+2)^2+1
[/mm]
Nenner: [mm] x^2+2x+1^2-1^2+4=(x+1)^2+3
[/mm]
damit ergibt sich:
[mm] (x+2)^2+1/[(x+1)^2+3](x+3)
[/mm]
und nun????
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Hallo mana,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> habe die Aufgabe in keiner anderen Internetseite gestellt:
>
> Aufgabe lautet: Stelle als Summe von Partialbrüchen da!
>
> [mm]x^2+4x+5/(x^2+2x+4)(x+3)[/mm]
>
> mein Ansatz:
>
> Zähler: durch Binomische Ergänzung
>
> [mm]x^2+4x+2^2-2^2+5=(x+2)^2+1[/mm]
>
> Nenner: [mm]x^2+2x+1^2-1^2+4=(x+1)^2+3[/mm]
>
> damit ergibt sich:
>
> [mm](x+2)^2+1/[(x+1)^2+3](x+3)[/mm]
>
> und nun????
>
>
zerlege den Bruch wie folgt:
[mm]\frac{{x^{2} \; + \;4\;x\; + \;5}}
{{\left( {x^{2} \; + \;2\;x\; + \;4} \right)\;\left( {x\; + \;3} \right)}}\; = \;\frac{A}
{{x\; + \;3}}\; + \;\frac{{B\;x\; + \;C}}
{{x^{2} \; + \;2\;x\; + \;4}}[/mm]
Die Zerlegung ist richtig, da das quadratische Polynom [mm]{x^{2} \; + \;2\;x\; + \;4}[/mm] keine reellen Nullstellen besitzt.
Wobei die Unbekannten A, B und C aus einem Koeffizientenvergleich zu bestimmen sind.
Für den Koeffizientenvergleich multiplizierst Du die linke und rechte Seite mit [mm]{\left( {x^{2} \; + \;2\;x\; + \;4} \right)\;\left( {x\; + \;3} \right)}[/mm]. Dann vergleichst Du die Koeffizienten die da links und rechts vor den Potenzen [mm]x^{k}[/mm] (k=0,1,2) stehen. Daraus ergibt sich dann ein Gleichungssystem, aus dem sich die Unbekannten bestimmen lassen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Do 25.08.2005 | | Autor: | mana |
danke Mathepower ich habe es so gemacht, wie du es gesagt hast, weiß aber nicht ob das so richtig ist, da für die Koeffizienten Brüche rauskommen. Ist ja nicht ungewöhnlich aber...
[mm] \bruch {x^2+4x+5}{(x^2+2x+)(x+3)}=\bruch{A}{(x+3)}+\bruch{Bx+C}{(x^2+2x+4)}
[/mm]
linke Seite bleibt = [mm] \bruch{A}{(x+3)}+\bruch{Bx}{(x^2+2x+4)}+\bruch{C}{(x^2+2x+4)}
[/mm]
[mm] x^2+4x+5=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x+3)
[/mm]
[mm] x^2+4x+5=A(x^2+4x+5)+B(x^2+3x)+C(x+3)
[/mm]
A B C
[mm] Z^2 [/mm] 1 1 0 =1
Z 2 3 1 =4
[mm] Z^0 [/mm] 4 0 3 =5
dann mit Gauß aufgelöst:
A=2/7 B=5/7 C9/7
wenn falsch, wo ist dann der Fehler? wenn richtig ist das dann hier fertig s.u
[mm] \bruch{2}{7(x+3)}+\bruch{5Bx}{7(x^2+2x+4)}+\bruch{9}{7(x^2+2x+4)}
[/mm]
oder soll ich das ganze doch mit 7 erweitern und die Brüche rechts auf einem Bruch schreiben???
[mm] \bruch{14}{(x+3)}+\bruch{35x+63}{(x^2+2x+4)}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Do 25.08.2005 | | Autor: | mana |
vielen dank erstmal, also das mit 7 erweitern sehe ich jetzt auch, war dumm, wollte eigentlich die 7 unten im nenner weghaben und habe das ganze mal 7 genommen und nicht mit 7 erweitert. das ist ja was ganz anderes ;-((
und der Schritt, der dir nicht klar war: also ich habe den Ausdruck
[mm] \bruch{Bx+C}{(x^2+2x+4)} [/mm] auseinander geschrieben
[mm] \bruch{Bx}{(x^2+2x+4)}+\bruch{C}{(x^2+2x+4)}
[/mm]
und dann nachdem ich mit [mm] (x^2+2x+4)(x+3) [/mm] erweitert hatte, kam
Bx(x+3)+C(x+3)= x reinmultipliziert
[mm] B(x^2+3x)+C(x+3)
[/mm]
damit ich die Koeffiezienten vergleichen konnte, ich sehe das nämlich nicht so schnell bin aus der Übung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Do 25.08.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mana!
> Bx(x+3)+C(x+3)= x reinmultipliziert
>
> [mm]B(x^2+3x)+C(x+3)[/mm]
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Ach ja, die Geschichte mit den vielen Wäldern und dem Baum ...
Gruß vom
Roadrunner
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du ja die Brüche verändert, da Du im Zähler mit 7 multiplizierst und in den Nennern teilst. Das geht so nicht 
...
