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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{1 * arctanx dx} [/mm] |
Hallo , ich habe hier ein kleines Problem bei der Lösung dieses Integrals :
[mm] \integral_{}^{}{1 * arctanx dx}
[/mm]
u' = 1
u = x
v = arc tanx
v' = [mm] \bruch{1}{x^{2}+1}
[/mm]
Notiz :
(arctanx)' = [mm] \bruch{1}{x²+1}
[/mm]
x * arctanx - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
x * arctanx - [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{x}{x*(x+\bruch{1}{x}}) dx}
[/mm]
x * arctanx - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+\bruch{1}{x}} dx}
[/mm]
x * arctanx - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x+1} dx}
[/mm]
So , ich weiß nicht , ob das bis hierhin richtig ist.
Das ist grad die erste richtige Aufgabe , wo ich die Partialbruchzerlegung anwende , sorry , wenn ich paar Fehler mache , also genug gequatscht :D
Die Nullstelle vom Nenner ist -1
[mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+1}
[/mm]
x = A
Ist A jetzt -1 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo pc-doctor!
Das geht hier völlig ohne Partialbruchzerlegung. Das neu entstehende Integral lässt ich sehr schnell mittels Substitution lösen: substituiere dafür den Nenner.
Gruß
Loddar
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Also , so hier :
x * arctanx - $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+1} dx} [/mm] $
z = [mm] x^{2} [/mm] + 1
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2x
dx = [mm] \bruch{dz}{2x}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{z} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{z} [/mm]
x * arctanx - $ [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{z dz } [/mm] $
?
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Hallo pc_doctor,
> Also , so hier :
>
> x * arctanx - [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+1} dx}[/mm]
>
> z = [mm]x^{2}[/mm] + 1
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = 2x
>
> dx = [mm]\bruch{dz}{2x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{z}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{2x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{dz}{z}[/mm]
>
> x * arctanx - [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{z dz }[/mm]
> ?
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\red{\bruch{1}{z}} \ dz }[/mm]
Gruss
MathePower
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Wie kommst du jetzt auf [mm] \bruch{1}{z} [/mm] , wenn ich fragen darf ?
Ahh . habs raus :
[mm] \bruch{x}{z} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{2x}
[/mm]
Daraus wird dann [mm] \bruch{1}{z} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dz
Kann man eigentlich dz mit z kürzen , geht das , nein oder ?
Und wie erkenne ich , wann ich Partialbruchzerlegung anwenden soll , oder wann ich die Substitution anwenden soll , wie kann man das am leichtesten erkennen ?
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Hallo,
> Wie kommst du jetzt auf [mm]\bruch{1}{z}[/mm] , wenn ich fragen darf
> ?
hmm, das hattest du doch selbst schon so, dann ist dir nur das z aus Versehen in den Zähler gerutscht. 
Gruß, Diophant
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Ja , danke , ist mir grad auch aufgefallen , könntest du noch bitte zusätzlich auf die 2 Fragen eingehen ? Wäre echt nett :)
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Hallo,
man kann nicht eine Variable durch ihr Differential oder andersherum kürzen.
Und es gibt den alten Spruch:
Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst..
Will sagen: es ist nicht so einfach, immer gleich die richtige Integrationsmethode zu finden. Es gibt für beide Methoden einige Typen von Integranden, die man damit immer in den Griff bekommt.
Aber
- nicht für jede integrierbare Funktion gibt es eine geschlossen darstellbare Stammfunktion
- Es gibt auch viele Funktionen, bei denen man eine Kombination aus mehreren Methoden benötigt, was teilweise wirklich nicht naheliegend ist.
Wenn du magst, dann versuche dich doch mal spaßeshalber an dem Integral
[mm]\integral{\bruch{1}{1+x^4} dx}[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mo 16.04.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar vielen vielen Dank :D
Würde ja gerne , aber hab noch andere Fächer , um die ich mich kümmern muss , obwohl Mathematik und Informatik da eine spezielle Position haben , muss das leider warten :P :D :P
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