Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 09.02.2013 | | Autor: | matheist |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x^2-1}{x^3-x^2} dx} [/mm] |
Es geht mir bei der Aufgabe vor allem darum, den Bruch zu zerlegen und ich schaffe das leider nicht. Also hier mein Ansatz:
[mm] \bruch{2x^2-1}{x^3-x^2}= \bruch{2x^2-1}{x-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Nach einer Polynomdivision des Terms [mm] \bruch{2x^2-1}{x-1} [/mm] bekomme ich
[mm] \bruch{2x^2-1}{x^3-x^2}=(2+ \bruch{1}{x-1}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Ausmultipliziert heißt es dann
[mm] \bruch{2x^2-1}{x^3-x^2}=\bruch{2}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(x-1)x^2}
[/mm]
Nun mit [mm] (x-1)x^2 [/mm] multiplizieren:
[mm] {2x^2-1}=2x-2
[/mm]
Mit dem Ergebnis kann ich wenig anfangen. Was muss ich beachten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo matheist,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2x^2-1}{x^3-x^2} dx}[/mm]
> Es geht mir
> bei der Aufgabe vor allem darum, den Bruch zu zerlegen und
> ich schaffe das leider nicht. Also hier mein Ansatz:
>
> [mm]\bruch{2x^2-1}{x^3-x^2}= \bruch{2x^2-1}{x-1}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Nach einer Polynomdivision des Terms [mm]\bruch{2x^2-1}{x-1}[/mm]
> bekomme ich
>
> [mm]\bruch{2x^2-1}{x^3-x^2}=(2+ \bruch{1}{x-1})[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Ausmultipliziert heißt es dann
>
> [mm]\bruch{2x^2-1}{x^3-x^2}=\bruch{2}{x^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(x-1)x^2}[/mm]
>
> Nun mit [mm](x-1)x^2[/mm] multiplizieren:
>
> [mm]{2x^2-1}=2x-2[/mm]
>
> Mit dem Ergebnis kann ich wenig anfangen. Was muss ich
> beachten?
>
Zerlege den Integranden in seine Partialbrüche.
Der Ansatz dafür ist:
[mm]\bruch{2x^2-1}{x^3-x^2}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^{2}}+\bruch{C}{x-1}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 09.02.2013 | | Autor: | matheist |
Hallo MathePower und danke!
[mm] \bruch{2x^2 - 1}{(x-1)x^2}= \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-1}
[/mm]
Wie kommst du darauf? Es gibt verschiedene Ansätze und ich weiß nie welchen ich wann anwenden kann / soll.
Mit [mm] (x-1)x^2 [/mm] multipliziert:
[mm] 2x^2 [/mm] - 1=A(x-1)x + B(x-1) + [mm] {C}x^2
[/mm]
Ausmultiplizieren:
[mm] 2x^2 [/mm] - [mm] 1=Ax^2 [/mm] - Ax + Bx - B + [mm] Cx^2
[/mm]
Ordnen für den Koeffizientenvergleich:
[mm] 2x^2 [/mm] - [mm] 1=(A+C)x^2 [/mm] + (B-A)x - B
A=-1
B=-1
C=3
Damit haben wir:
[mm] \bruch{2x^2 - 1}{(x-1)x^2}= \bruch{-1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{x-1}
[/mm]
Nun kommt die Integration:
3 [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2} dx}=3*ln|x-1|-ln|x|-\bruch{1}{x}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo matheist,
> Hallo MathePower und danke!
>
> [mm]\bruch{2x^2 - 1}{(x-1)x^2}= \bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{x-1}[/mm]
>
> Wie kommst du darauf? Es gibt verschiedene Ansätze und ich
> weiß nie welchen ich wann anwenden kann / soll.
>
> Mit [mm](x-1)x^2[/mm] multipliziert:
>
> [mm]2x^2[/mm] - 1=A(x-1)x + B(x-1) + [mm]{C}x^2[/mm]
>
> Ausmultiplizieren:
>
> [mm]2x^2[/mm] - [mm]1=Ax^2[/mm] - Ax + Bx - B + [mm]Cx^2[/mm]
>
> Ordnen für den Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]2x^2[/mm] - [mm]1=(A+C)x^2[/mm] + (B-A)x - B
>
> A=-1
> B=-1
> C=3
>
Diese Koeffizienten stimmen nicht.
Die Gleichungen lauten doch:
[mm]-1=-B[/mm]
[mm]0=B-A[/mm]
[mm]2=A+C[/mm]
Ermittle daraus die Koeffizienten A, B und C.
> Damit haben wir:
>
> [mm]\bruch{2x^2 - 1}{(x-1)x^2}= \bruch{-1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{-1}{x^2}[/mm]
> + [mm]\bruch{3}{x-1}[/mm]
>
>
> Nun kommt die Integration:
>
> 3 [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2} dx}=3*ln|x-1|-ln|x|-\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 09.02.2013 | | Autor: | matheist |
Achso danke, es muss lauten
ln|x-1|+ln|x|- [mm] \bruch{1}{x}+C
[/mm]
Aber ehrlich gesagt bin ich nicht in der Lage, auf diesen ersten Ansatz zu kommen:
$ [mm] \bruch{2x^2 - 1}{(x-1)x^2}= \bruch{A}{x} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{x^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C}{x-1} [/mm] $
Ich habe da irgendetwas nicht ganz verstanden. Kannst du mir das erklären?
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Hallo matheist,
> Achso danke, es muss lauten
>
> ln|x-1|+ln|x|- [mm]\bruch{1}{x}+C[/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber ehrlich gesagt bin ich nicht in der Lage, auf diesen
> ersten Ansatz zu kommen:
>
> [mm]\bruch{2x^2 - 1}{(x-1)x^2}= \bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{x-1}[/mm]
>
Dieser Ansatz basiert auf dem ![[]](/images/popup.gif) Hauptsatz der Partialbruchzerlegung.
> Ich habe da irgendetwas nicht ganz verstanden. Kannst du
> mir das erklären?
Gruss
MathePower
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