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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Di 02.07.2013
Autor: Helicase

Aufgabe
Berechnen Sie, sofern dieses existieren:

a) [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm]

Hallo Forum,

zunächst habe ich die Integranden mit der Partialbruchzerlegung umgeschrieben:

zu a)

[mm] \bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x*(x-1)^{2}} [/mm]

Damit kann ich dann die einzelnen Summanden aufstellen:

f(x) = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)^{2}} [/mm]

Hauptnenner bilden:

[mm] \bruch{A*(x-1)^{2} + B*x*(x-1) + C*x}{x^3 - 2x^2 + x} [/mm]

Durch Koeffizientenvergleich müsste sich dann

A = 1
B = -1
C = 1

ergeben.

Also:

[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} - \bruch{1}{x-1} + \bruch{1}{(x-1)^{2}} dx} [/mm]

Wenn das Integral existiert, müssten doch alle "Teil"-Integrale existieren?

Da aber bereits [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] nicht existiert, kann das gesamte Integral nicht existieren?

Reicht das als Begründung aus?

Gruß
Helicase

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Di 02.07.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Berechnen Sie, sofern dieses existieren:

>

> a) [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm]

>

> Hallo Forum,

>

> zunächst habe ich die Integranden mit der
> Partialbruchzerlegung umgeschrieben:

>

> zu a)

>

> [mm]\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x*(x-1)^{2}}[/mm]

>

> Damit kann ich dann die einzelnen Summanden aufstellen:

>

> f(x) = [mm]\bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-1}[/mm] +
> [mm]\bruch{C}{(x-1)^{2}}[/mm]

>

> Hauptnenner bilden:

>

> [mm]\bruch{A*(x-1)^{2} + B*x*(x-1) + C*x}{x^3 - 2x^2 + x}[/mm]

>

> Durch Koeffizientenvergleich müsste sich dann

>

> A = 1
> B = -1
> C = 1

>

> ergeben.

>

> Also:

>

> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} - \bruch{1}{x-1} + \bruch{1}{(x-1)^{2}} dx}[/mm]

>

> Wenn das Integral existiert, müssten doch alle
> "Teil"-Integrale existieren?

>

> Da aber bereits [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> nicht existiert, kann das gesamte Integral nicht
> existieren?

Vorsicht, du solltest die Polstellen noch mitbeachten.

[Dateianhang nicht öffentlich]

[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm]



>

> Reicht das als Begründung aus?

>

> Gruß
> Helicase

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Di 02.07.2013
Autor: Helicase

Danke für die schnelle Antwort.

Wenn ich also solche Integrale habe, vorher schauen, ob Polstellen in den Integrationsgrenzen liegen. Wenn ja, daran dann die Teilintegrale aufstellen.

Wenn man diese dann betrachtet, folgt

[mm] \integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = - [mm] \infty [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = [mm] \infty [/mm]

[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] = [mm] \infty [/mm]

Und damit existiert [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx} [/mm] nicht.

Gruß
Helicase

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Di 02.07.2013
Autor: Thomas_Aut


> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Wenn ich also solche Integrale habe, vorher schauen, ob
> Polstellen in den Integrationsgrenzen liegen. Wenn ja,
> daran dann die Teilintegrale aufstellen.

Hallo

Du solltest immer schauen ob die Funktion ggf. undefinierte Ausdrücke annehmen kann - also nicht nur die Integrationsgrenzen können uneigentlich sein sondern auch der Integrand selbst - diese Stellen werden Uneigentlichkeitsstellen des Integrals genannt. Dann trennst du natürlich in geeignete Intervalle.

Gruß Thomas

>
> Wenn man diese dann betrachtet, folgt
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm] = -
> [mm]\infty[/mm]
>  

ja

> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>  

ja

> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm] =
> [mm]\infty[/mm]

ja

>  
> Und damit existiert [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{\bruch{1}{x^3 - 2x^2 + x} dx}[/mm]
> nicht.
>  
> Gruß
> Helicase


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