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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Dave81 |
Hallo!
Ich versuche mich grad in den ersten Schritten der Partialbruchzerlegung. Nur hat mein Professor das Talent, alles extrem undeutlich und unnötig schwierig zu erklären.
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll!
Warum ist die Lösung der PBZ folgender Aufgaben so:
[mm] \bruch{6 x^{2}-x+1}{x^{3}-x} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x} +\bruch{3}{x-1} +\bruch{4}{x+1}
[/mm]
bzw.
[mm] \bruch{5x^{2}-4x-16}{(x-3)(x^{2}-x+1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x-3} -\bruch{x+2}{x^{2}-x+1} -\bruch{2x+3}{(x^{2}-x+1)^{2}}
[/mm]
Kann mir das vielleicht einer wirklich so Schritt für Schritt verdeutlichen, wie man auf die Lösung dieser Aufgaben kommt?
So dass ich selber dann analog verschiedene Übungen selbstständig lösen kann, wie z.B.:
1) [mm] \bruch{x^{3}}{x-2}
[/mm]
oder
2) [mm] \bruch{(a+b)x-2b}{x^{2}-2x+1}
[/mm]
Wäre euch wirklich unendlich Dankbar, wenn mir jemand das "wie für Dummies" erklärt. ;)
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo!
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich versuche mich grad in den ersten Schritten der
> Partialbruchzerlegung. Nur hat mein Professor das Talent,
> alles extrem undeutlich und unnötig schwierig zu erklären.
> Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich überhaupt
> anfangen soll!
>
> Warum ist die Lösung der PBZ folgender Aufgaben so:
> [mm]\bruch{6 x^{2}-x+1}{x^{3}-x}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x} +\bruch{3}{x-1} +\bruch{4}{x+1}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\bruch{5x^{2}-4x-16}{(x-3)(x^{2}-x+1)^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x-3} -\bruch{x+2}{x^{2}-x+1} -\bruch{2x+3}{(x^{2}-x+1)^{2}}[/mm]
>
> Kann mir das vielleicht einer wirklich so Schritt für
> Schritt verdeutlichen, wie man auf die Lösung dieser
> Aufgaben kommt?
Naja, warum das richtig ist ist leicht zu erklären, wenn du die Brüche auf der einen Seite zusammenfasst erhälst du halt genau den Bruch auf der linken Seite raus 
Schwierig ist es halt nur auf dieses Ergebnis zu kommen...
Hier mal eine Kurzanleitung Partialbruchzerlegung, als Beispiel wählen wir den Bruch [mm] $\frac{x^2-x-3}{(x-1)^3}$.
[/mm]
Wir würden ja diesen Bruch als die Summe von mehreren anderen Brüchen darstellen. D.h. aber, dass diese anderen Brüche alle so erweitert werden können, dass sie den Nenner [mm] $(x-1)^3$ [/mm] haben. Man muss also erst einmal überlegen, welche Nenner könnten alle möglich sein. Da es sich hierbei ja um Terme mit $x$ handelt sind nicht viele möglich. In unserem Fall könnten die Nenner $x-1$, [mm] $(x-1)^2$ [/mm] oder [mm] $(x-1)^3$ [/mm] sein, denn nur diese lassen sich durch entsprechendes Erweitern auf [mm] $(x-1)^3$ [/mm] bringen.
Unser erster Ansatz ist damit:
[mm] $\frac{x^2-x-3}{(x-1)^3}=\frac{A}{x-1}+ \frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}$
[/mm]
Wir müssen jetzt nur noch die Variablen $A, B, C$ so bestimmen, dass die Gleichung tatsächlich erfüllt ist. Dazu bringen wir unsere drei Summanden auf den Nenner [mm] $(x-1)^3$:
[/mm]
[mm] $\frac{x^2-x-3}{(x-1)^3}=\frac{A\cdot (x-1)^2}{(x-1)^3}+ \frac{B\cdot (x-1)}{(x-1)^3}+\frac{C}{(x-1)^3}$
[/mm]
Jetzt können wir auch die drei Brüche auf der rechten Seite zusammenfassen:
[mm] $\frac{x^2-x-3}{(x-1)^3}=\frac{A\cdot (x-1)^2+ B\cdot (x-1)+C}{(x-1)^3}$
[/mm]
Multipliziert man den Zähler aus und ordent nach Potenzen von $x$ erhält man:
[mm] $\frac{x^2-x-3}{(x-1)^3}=\frac{A\cdot x^2+ (B-2A)\cdot x + (A-B+C)}{(x-1)^3}$
[/mm]
Wenn diese Gleichung erfüllt sein soll, dann müssen die Zähler übereinstimmen - wir müssen jetzt also $A, B, C$ noch so bestimmen, dass
[mm] $1\cdot x^2 [/mm] + [mm] (-1)\cdot [/mm] x + (-3) = [mm] A\cdot x^2+ (B-2A)\cdot [/mm] x + (A-B+C)$
gilt. Damit kommt man auf das lineare Gleichungssystem
$1=A$
$-1=(B-2A)$
$-3=(A-B+C)$
In diesem Fall kann man aus der ersten Gleichung $A=1$ ablesen, damit erhält man aus der zweiten Gleichung $B=1$. Setzt man $A=B=1$ in die letzte Gleichung ein, erhält man $C=-3$. Damit kennen wir die Variablen $A, B, C$ und die Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{x^2-x-3}{(x-1)^3}=\frac{1}{x-1}+ \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{-3}{(x-1)^3}$
[/mm]
Ich hoffe das war nachvollziehbar und reproduzierbar.
Deine Übungen
> 1) [mm]\bruch{x^{3}}{x-2}[/mm]
>
> oder
>
> 2) [mm]\bruch{(a+b)x-2b}{x^{2}-2x+1}[/mm]
würde ich dich nicht empfehlen. Hast du dir die Aufgaben selbst ausgedacht? Mach besser die folgenden. (Ich habe sie so erstellt, dass nur ganzzahlige Werte für $A, B, C, [mm] \ldots$ [/mm] vorkommen.
a) [mm] $\frac{2x+13}{(x-1)(x+4)}$
[/mm]
b) [mm] $\frac{2x^2-3x+6}{(x-1)^2(x+4)}$
[/mm]
c) [mm] $\frac{x^4+4x+4}{(x+1)x^4}$
[/mm]
Häufig sieht man aber die Faktoren im Nenner nicht so gut und kann deshalb erst nach Vorüberlegungen die möglichen Nenner für die Partialbruchzerlegung bestimmen. Ich gehe mal davon aus, dass du weißt wie man Polynome faktorisierst. Hier noch paar Übungen dazu:
d) [mm] $\frac{x}{x^2-3x+2}$
[/mm]
e) [mm] $\frac{x^2}{x^4-2x^2+1}$
[/mm]
f) [mm] $\frac{4-x^2}{x^3-x^2-4x+4}$ [/mm] (Tipp: Je nachdem wie du es machst erkennst du sofort, dass man eigentlich nicht rechnen muss  )
Gruß Brackhaus
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