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| Aufgabe | | f(x) = [mm] \bruch{x^2+2x+1}{(x-2)^2(x^2-x+1)} [/mm] |
Hallo zusammen,
versuche mich gerade an einer partialen Bruchzerlegung....
Funktion:
f(x) = [mm] \bruch{x^2+2x+1}{(x-2)^2(x^2-x+1)}
[/mm]
Nun habe ich die Nullstellen des Nenners bestimmt:
Teil1: [mm] (x-2)^2 [/mm] = 0
Ausgeklammert und PQ-Formel angewandt: [mm] x_{1},x_{2} [/mm] = 2
Also eine doppelte Nullstelle...
Teil2: [mm] x^2-x+1
[/mm]
PQ-Formel ergibt mir einen Widerspruch weil die Wurzel negativ wird.
Also halten wir fest, wir haben eine Nullstelle bei [mm] x_{1} [/mm] = 2
[mm] \bruch{x^2+2x+1}{(x-2)^2(x^2-x+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-x_{1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^2+2x+1}{(x-2)^2(x^2-x+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-2} [/mm] | [mm] \* [/mm] (x-2)
= [mm] \bruch{x^2+2x+1}{(x^2-x+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-2}
[/mm]
Nun habe ich meinen Wert von der Nullstelle für das A eingesetzt...
A = [mm] \bruch{2^2+2*2+1}{(2^2-2+1)}
[/mm]
A = 3
[mm] \integral_{}^{} \bruch{x^2+2x+1}{(x-2)^2(x^2-x+1} [/mm] dx = [mm] \integral_{}^{} \bruch{3}{x-2} [/mm] dx
= 3Log(x-2)
Wobei Log zur basis e ist.
Das Ergebnis ist jedoch falsch..
Könnt ihr mir bitte sagen wo mein Fehler liegt?
Danke sehr,
steffi
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Hallo Steffi!
Du musst hier schon die  Partialbruchzerlegung mit allen Fakoren des Nenners durchführen (und nicht nur mit einer der Nullstellen):
[mm] $$\bruch{x^2+2x+1}{(x-2)^2*\left(x^2-x+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{(x-2)^2}+\bruch{C*x+D}{x^2-x+1}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Zunächst vielen Dank für Deine Lösung...
2 Fragen:
Ist es generell immer das ich mit den Nullstellen UND allen Faktoren des Nenners die PBZ durchführe?
Woher kommt das [mm] C\*x [/mm] + D ?
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Damit ich mir sicher bin ob ich es verstehe...
Habe hie rnoch eine PBZ gemacht:
f(x) = [mm] \bruch{6x}{(x^3+2x^2-x-2)}
[/mm]
Dann Nullstellen des Nenners bestimmen mit Polynomdiv.:
NS1 erraten: 1
Polinomdivision ergebnis: [mm] x^2 [/mm] + 2x + 2
Weiter mit PQ-Formel:
NS2 = -1
NS3 = -2
Zusammengefasst: Wir haben 3 Nullstellen... NS1 = 1 NS2 = -1 sowie NS3 = -2
PBZ. allg. Formel:
[mm] \bruch{P(x)}{Q(x)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-NS1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-NS2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-NS3} [/mm] + .... + [mm] \bruch{Z}{x-NS_N}
[/mm]
Eingesetzt:
f(x) = [mm] \bruch{6x}{x^3+2x^2-x-2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x+2} [/mm] | * (x-1) *(x+1)*(x+2)
6x = A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+1)
Dann die NS eingesetzt entsprechend für A , B, C NS1 NS2 NS3...
Für A:
6 * 1 = A(1 +1)(1+2)
A = 1
usw. für B , C
Dann einsetzen:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{6x}{x^3+2x^2-x-2)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3}{x+1} dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{4}{x+2} dx}
[/mm]
= ln(x-1) + 3ln(x+1) - 4ln(x+2)
Wobei ln zur basis e ist.
Gruß,
steffi : )
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 24.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
alles perfekt richtig gerechnet.
mfg ullim
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Vielen Dank für die schnelle Antwort..
Wieso reicht es aber hier, wenn ich _nur_ mit den [mm] x-NS_{n} [/mm] (Nullstellen) die Brüche multipliziere...
Vorhin musste ich es ja mit den NS UND den Faktoren des Nenners..
Hoffe ihr wisst was ich meine.. .
und woher das C*x + D kommt verstehe ich immer noch nicht :(
okey.. das *x kommt anscheinend daher, da wird im Nenner das [mm] x^2 [/mm] haben (?)... aber wieso dann noch das D..
Bin ein wenig verwirrt.. sorry :(
Lg,
steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
probiers einfach mal umgekehrt:
mach aus [mm] \bruch{Cx+D}{quadratische fkt}+\bruch{A}{lineare fkt}
[/mm]
einen Bruch.
Dann dasselbe mit nur Cx und mit nur D. Dann siehst du rückwärts wozu man sie braucht.
Gruss leduart
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Haltet mich für blöd, aber ich kann Euch wirklich nicht folgen :(
Wenn ich aus den zweien einen Bruch mache erhalte ich :
[mm] \bruch{A * (x^2 -x +1)+ (C\*x + D)(x-2) )}{(x-2)(x^2-x+1)}
[/mm]
Wie gesagt.. Ich meine zumindest das [mm] "\*" [/mm] zu verstehen.
Weil im Nenner eigentlihc nur lineare fkt. stehen kommt in den Zähler das "x" hinzu.. Aber das D.... =/
Vielen Dank für Eure Geduld,
Steffi1988
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch bei dem Koeffizientenvergleich 3 Terme zu vergleichen, also 3 Gleichungen zu erfüllen.
wenn da jetzt nur A und C stünden, hättest du nur 2 unbekannte, aber 3 Gleichungen. wenn 2 erfüllt sind, dann die dritte im Algemeinen nicht.
oder Anders: WENN du das quadratische Nenner Polynom in 2 nullstellen (x-a)*(x-b) zerlegen könntest hättest du ja auch A/(x-a)+B(x-b)=(Ax+Bx -bA-aB)/((x-a)*(x-b))
und nach ausklammern von A ist jetzt A+B unser C und -bA-aB unser D
ich hoffe jetzt ist es was klarer.
Gruss leduart
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So einen Funken zum Nachdenken hats jetzt gebracht :D
Mal sehen ob ich es richti verstehe:
Ich habe ja meine brüche A , B...
[mm] \bruch{A}{x-2}
[/mm]
[mm] \bruch{B}{(x-2)^2}
[/mm]
D.h. ich habe dort oben jeweils einen Koeffizienten stehen weil im Nenner nur _ein_ unbekanntes x steht..
Würde dort stehen im Nenner beim ersten Beispiel [mm] x^2 [/mm] -2
würde ich schreiben
[mm] \bruch{A+P}{x^2-2}
[/mm]
Korrekt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> So einen Funken zum Nachdenken hats jetzt gebracht :D
>
>
> Mal sehen ob ich es richti verstehe:
>
>
> Ich habe ja meine brüche A , B...
>
> [mm]\bruch{A}{x-2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{B}{(x-2)^2}[/mm]
der ist schon falsch, steht unten eine qu. fkt muss oben ne lineare stehen.
> D.h. ich habe dort oben jeweils einen Koeffizienten stehen
> weil im Nenner nur _ein_ unbekanntes x steht..
So ist es falsch. das x ist nicht unbekannt, sondern die Unbekannten sind die Zähler um aus der Summe der 2 Brüche den ursprünglichen zu machen
> Würde dort stehen im Nenner beim ersten Beispiel [mm]x^2[/mm] -2
> würde ich schreiben
>
> [mm]\bruch{A+P}{x^2-2}[/mm] du musst schreiben [mm]\bruch{Ax+P}{x^2-2}[/mm]
>
Nein. denn A+P kann man immer zusammenfassen zu einer Unbekannten A'
du musst schreiben [mm]\bruch{Ax+P}{x^2-2}[/mm]
Gruss leduart
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[mm] $$\bruch{x^2+2x+1}{(x-2)^2*\left(x^2-x+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{(x-2)^2}+\bruch{C*x+D}{x^2-x+1}$$ [/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hier steht es doch auch mit dem
[mm] \bruch{B}{(x-2)^2}
[/mm]
ist es nun richtig oder falsch....
Lg,
steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ne doppelte Nullstelle hast brauchst du 2 Terme, wie dir roadrunner geschrieben hat.
[mm] (x-2)^2 [/mm] ist ne doppelte Nullstelle, also [mm] A/(x-2)+B/(x-2)^2=(Ax-2A+B)/(x-2)^2
[/mm]
und du kannst -2A+b=C zusammenfassen. Nur zum integrieren ist die erste Form viel besser.
Gruss leduart
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Ja!!
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. . . . ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia: Partialbruchzerlegung