Partialbruchzerlegung bei e^x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Integrieren Sie
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(1+exp(x))(1+2 * exp(-x))} dx}[/mm]
unter Verwendung der Partialbruchzerlegung |
Hallo zusammen,
die Exponentialfunktion im Nenner verwirrt mich: Wie soll ich hier eine Partialbruchzerlegung durchführen? Ich kenne die PBZ nur mit rationalen Funktionen, wo im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom steht.
Könnt Ihr mir da einen Ansatzpunkt geben?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Patrick,
nett formulierte Aufgabe...
> Integrieren Sie
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(1+exp(x))(1+2 * exp(-x))} dx}[/mm]
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> unter Verwendung der Partialbruchzerlegung
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> Hallo zusammen,
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> die Exponentialfunktion im Nenner verwirrt mich: Wie soll
> ich hier eine Partialbruchzerlegung durchführen? Ich kenne
> die PBZ nur mit rationalen Funktionen, wo im Zähler und
> Nenner jeweils ein Polynom steht.
>
> Könnt Ihr mir da einen Ansatzpunkt geben?
Lass uns mal nur den Integranden betrachten und da [mm] u=e^x [/mm] setzen (ohne gleich im Sinn der Integrationssubstitution vorzugehen.
Dann steht da [mm] \bruch{1}{(1+u)(1+\bruch{2}{u})}=\bruch{u}{(1+u)(u+2)}
[/mm]
Mach damit mal Deine gewohnte Partialbruchzerlegung und resubstituiere dann. Danach ist die Integration ziemlich einfach.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> nett formulierte Aufgabe...
hehe 
> Lass uns mal nur den Integranden betrachten und da [mm]u=e^x[/mm]
> setzen (ohne gleich im Sinn der Integrationssubstitution
> vorzugehen.
>
> Dann steht da
> [mm]\bruch{1}{(1+u)(1+\bruch{2}{u})}=\bruch{u}{(1+u)(u+2)}[/mm]
>
> Mach damit mal Deine gewohnte Partialbruchzerlegung und
> resubstituiere dann. Danach ist die Integration ziemlich
> einfach.
Okay, damit komme ich klar. Allerdings verstehe ich nicht, was Du gemacht hast um vom linken zum rechten Teil der Gleichung zu kommen.
Als Ergebnis komme ich nach dem zurücksubstituieren letztendlich auf [mm]-ln(exp(x)+1) + 2*ln(exp(x)+2)[/mm]
Gruß
Patrick
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Hallo Patrick,
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> Hallo reverend,
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> > nett formulierte Aufgabe...
>
> hehe
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> > Lass uns mal nur den Integranden betrachten und da [mm]u=e^x[/mm]
> > setzen (ohne gleich im Sinn der Integrationssubstitution
> > vorzugehen.
> >
> > Dann steht da
> > [mm]\bruch{1}{(1+u)(1+\bruch{2}{u})}=\bruch{u}{(1+u)(u+2)}[/mm]
> >
> > Mach damit mal Deine gewohnte Partialbruchzerlegung und
> > resubstituiere dann. Danach ist die Integration ziemlich
> > einfach.
>
> Okay, damit komme ich klar. Allerdings verstehe ich nicht,
> was Du gemacht hast um vom linken zum rechten Teil der
> Gleichung zu kommen.
Na, erweitere linkerhand mit u, multipliziere also mit [mm]\frac{u}{u}[/mm]
>
> Als Ergebnis komme ich nach dem zurücksubstituieren
> letztendlich auf [mm]-ln(exp(x)+1) + 2*ln(exp(x)+2)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß
> Patrick
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
> > Okay, damit komme ich klar. Allerdings verstehe ich nicht,
> > was Du gemacht hast um vom linken zum rechten Teil der
> > Gleichung zu kommen.
>
> Na, erweitere linkerhand mit u, multipliziere also mit
> [mm]\frac{u}{u}[/mm]
Oh je, ist nun wirklich offensichtlich – vielen Dank. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich würde hier [mm] u=e^x [/mm] substituieren . Das führt auf
(*) [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(1+u)(2+u)} du}.
[/mm]
Für [mm] \bruch{1}{(1+u)(2+u)} [/mm] führst Du PBZ durch.
Der Aufgabensteller könnte das so gemeint haben. Er könnte es aber auch so gemeint haben, wie reverend es aufgefasst hat.
Wie auch immer: beides führt zum Ziel ( meine Methode aber schneller)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mo 17.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
das wäre erst mein nächster Schritt gewesen. Dass die Zähler dann Konstanten sind, sehen die meisten nicht auf Anhieb.
Ich wollte nur zeigen, wie man vorgeht, wenn man es nicht sieht - und eben trotzdem mit der PBZ arbeiten kann.
Das Ergebnis ist aber (logischerweise) das gleiche, von daher alles kein Problem.
Grüße
reverend
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