Partialsum. arith.+geom. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Shruuf |
Hallo,
ich hoffe an der richtigen Stelle im Forum zu posten.
Ich habe eine Reihe, welche sowohl einen arthmetischen wie einen geometrischen Part hat. Für diese suche ich die Partialsumme für ein beliebiges T. Die Reihe ist:
[mm] A=\sum_{t=1}^{T} \frac{T-t}{T} \gamma^{t-1}
[/mm]
Ich kann für beide Teile die (isolierten) Partialsummen bestimmen - das nutzt mir nur leider nicht so viel...
Eine Idee vom mir war, das es vielleicht eine Möglichkeit geben könnte, einen Teil umzuwandeln, z.B. die Reihe zu logarithmieren. Ich hatte aber nicht den Eindruck das mich dies weiter bringt. M.E. geht dann die "Reiheneigenschaft" verloren.
Hat jemand vielleicht einen Lösungsansatz wie man hier vorgehen könnte? Oder gibt es für diesen Fall vielleicht gar keinen Ansatz?
Formalia:
Ich schreibe meine Doktorarbeit in Wirtschaftswissenschaften. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Fr 22.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]A=\sum_{t=1}^{T} \frac{T-t}{T} \gamma^{t-1}[/mm]
warum kannst du nicht in 2 Summen aufreilen?
[mm] $A=\sum_{t=1}^{T} \gamma^{t-1}+1/T*\sum_{t=1}^{T} t*\gamma^{t-1}
[/mm]
bei der ersten Summe den Summationsindex um 1 verschieben also t=0 bis T-1
die 2te Summe ist die Ableitung der ersten (nach [mm] \gamma), [/mm] also auch leicht zu bestimmen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Shruuf |
Guten Morgen leduart,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe aber den Eindruck, daß das nicht funktioniert. Das [mm] \gamma [/mm] und der Bruch sind multiplikativ miteinander verknüpft, nicht additiv. Dann kann ich doch nicht einfach das Produkt in zwei Summen zerlegen, oder? Das ergibt sich auch bei einem kleinen numerischen Beispiel:
T=2; [mm] \gamma=1,02
[/mm]
Bei mir: [mm] A=\frac{2-1}{2}\cdot 1,02^{1-1}+\frac{2-2}{2}\cdot 1,02^{2-1}=0,5
[/mm]
Bei Dir: [mm] A=1,02^{1-1}+1,02^{2-1}+\frac{1}{2}(1\cdot 1,02^{1-1}+2\cdot1,02^{2-1}) =2,02+\frac{1}{2}(1+2,04)=3,52
[/mm]
Auch wenn ich die Grenzen der ersten Summe um eins verschiebe ergibt sich nicht das Ergebnis. Dann ergibt sich m.E.:
[mm] A=1,02^{0-1}+1,02^{1-1}+\frac{1}{2}(1\cdot 1,02^{1-1}+2\cdot1,02^{2-1}) =1,98+\frac{1}{2}(1+2,04)=3,5
[/mm]
Oder habe ich einfach einen Denkfehler oder Deine Argumentation nicht verstanden?
Vielen Dank für alle Hinweise im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Sa 23.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen leduart,
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> vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe aber den Eindruck,
> daß das nicht funktioniert. Das [mm]\gamma[/mm] und der Bruch sind
> multiplikativ miteinander verknüpft, nicht additiv. Dann
> kann ich doch nicht einfach das Produkt in zwei Summen
> zerlegen, oder?
Ist $ [mm] \bruch{a-b}{a}*c= c-\bruch{b}{a}*c$
[/mm]
richtig oder nicht ?
FRED
> Das ergibt sich auch bei einem kleinen
> numerischen Beispiel:
>
> T=2; [mm]\gamma=1,02[/mm]
>
> Bei mir: [mm]A=\frac{2-1}{2}\cdot 1,02^{1-1}+\frac{2-2}{2}\cdot 1,02^{2-1}=0,5[/mm]
>
> Bei Dir: [mm]A=1,02^{1-1}+1,02^{2-1}+\frac{1}{2}(1\cdot 1,02^{1-1}+2\cdot1,02^{2-1}) =2,02+\frac{1}{2}(1+2,04)=3,52[/mm]
>
> Auch wenn ich die Grenzen der ersten Summe um eins
> verschiebe ergibt sich nicht das Ergebnis. Dann ergibt sich
> m.E.:
>
> [mm]A=1,02^{0-1}+1,02^{1-1}+\frac{1}{2}(1\cdot 1,02^{1-1}+2\cdot1,02^{2-1}) =1,98+\frac{1}{2}(1+2,04)=3,5[/mm]
>
> Oder habe ich einfach einen Denkfehler oder Deine
> Argumentation nicht verstanden?
> Vielen Dank für alle Hinweise im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Shruuf |
Vielen Dank! Ihr habt recht. Ich habe es hinbekommen.
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