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| Aufgabe | Geben Sie die Partialsumme [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i(i+1)}
[/mm]
in der Gestalt [mm] S_{n} [/mm] = f (n) an und berechnen Sie S = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} S_{n} [/mm] |
Hi
Ich habe folgendes gemacht:
n= 1 --> [mm] \bruch{1}{1(1+1)} [/mm] = 1/2
n=2 --> [mm] \bruch{1}{2(2+1)} [/mm] = 1/2 + 1/6
n=3 --> [mm] \bruch{1}{3(3+1)} [/mm] = 1/2 + 1/6 + 1/12
n=4 --> [mm] \bruch{1}{4(4+1)} [/mm] = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20
Daraus ergibt sich folgende Folge:
[mm] \bruch{1}{2}, \bruch{2}{3}, \bruch{3}{4}, \bruch{4}{5}, [/mm]
Das Allgemeine Glied bestimmen:
[mm] A_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
und nun
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1} [/mm] ?
der Limes davon wäre doch dann 1 oder?
Habe ich die Aufgabenstellung so richtig verstanden? Wäre das so auch korrekt wenn ich das in einer Klausur so schreiben würde?
Danke
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Do 09.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo,
das sieht alles schon sehr gut aus. Toll auch, wie Du die Reihe auf eine Folge
zurückführst! Was Deine letzte Frage betrifft:
[mm] $\bruch{n}{n+1}=\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}}\cdot\bruch{n}{n+1}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}\to [/mm] 1$ für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Viele Grüße
Markus-Hermann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Do 09.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaub in einer Klausur wär es nicht erlaubt, ohne Beweis auf [mm] A_n [/mm] einfach aus den ersten paar Gliedern zu schliessen. Du müsstest es beweisen!
dazu nimmt man ne Partialbruchzerlegung [mm] \bruch{1}{i*(i+1)}=\bruch{A}{i}+\bruch{B}{i+1}
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Fr 10.08.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
man kann es aber auch durch Induktion beweisen.
MfG
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 10.08.2007 | | Autor: | kochmn |
> Beweisen mit Partialbruchzerlegung...
Schon... aber im GK, Klasse 13?
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