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Hallo, Leute! Ich wünsche euch allen guten Rutsch ins neue Jahr!
Ich komme nicht klar mit einer Aufgabe:
eine Zahlenfolge ist gegeben durch [mm] a_{n}=\bruch{2}{n(n+1)}
[/mm]
Nun zur Aufgabenstellung:
ich soll die ersten 5 Glieder der zur Zahlenfolge zugehörigen Partialsummenfolge angeben. Dabei hatte keine Probleme: [mm] s_{1}=1; s_{2}=\bruch{4}{3}; s_{3}=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] s_{4}=\bruch{8}{5}; s_{5}=\bruch{5}{3}
[/mm]
Die Aufgabe, die ich nicht lösen kann, ist: ein explizites Bildungsgesetz zu dieser Partialsummenfolge zu entwickeln.
Ich habe schon vieles versucht. Ich ging zuerst davon aus,
dass [mm] \bruch{2}{n}-\bruch{2}{n+1}=\bruch{2}{n(n+1)} [/mm] und
die Parttialsummenfolge von 2 2n, [mm] s_{n} [/mm] von n [mm] \bruch{n(n+1)}{2}, s_{n} [/mm] von n+1 [mm] \bruch{n(n+1)}{2}+1, [/mm] ich komme damit aber nicht weiter, ich habe schon mehrmals alles durchprobiert, irgendwie haut mein Ansatz nicht hin.
Ich denke, ich mache alles zu kompliziert, ich weiß nun aber nicht wie der richtiger Ansatz heißt. Ich hoffe, dass ihr mir helft. Ich danke euch im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Do 27.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
[mm] $a_{n}=\bruch{2}{n(n+1)}$ [/mm] und [mm] $s_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+...+a_n$.
[/mm]
Du hast doch schon einen guten Ansatz:
Zunächst schreibe man
[mm] $a_n=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$
[/mm]
Setzen wir mal [mm] $b_n=\frac{2}{n}$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] so ist
[mm] $a_k=b_k-b_{k+1}$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann kann man also schreiben:
[mm] $s_n=\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\left( b_k-b_{k+1}\right)=\underbrace{(b_1 -b_2)}_{=a_1}+\underbrace{(b_2 -b_3)}_{=a_2}+...+\underbrace{(b_n -b_{n+1})}_{=a_n}$
[/mm]
Fällt Dir was auf? Du solltest erkennen, wie man [mm] $s_n$ [/mm] nur mit [mm] $b_{n+1}$ [/mm] und [mm] $b_1$ [/mm] audrücken kann...
(Formal kann man das, da endlich viele Summanden und wir die Rechenregeln im Körper [mm] (\IR,+,*) [/mm] benutzen dürfen, sehr einfach mit dem Summenzeichen und einem Indexshift begründen:
[mm] \sum_{k=1}^n\left( b_k-b_{k+1}\right)=\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)-\sum_{k=2}^{n+1}b_{k},
[/mm]
aber ich weiß nicht, wie gut Du mit dem Summenzeichen umzugehen weißt.)
Gruß,
Marcel
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