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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich kann leider morgen die Vorlesugn nicht besuchen wo Aufgaben in folgendem Stil behandelt werden:
Es sei f(x,y) = [mm] e^{xy}
[/mm]
berechnen Sie die partielle Ableitung [mm] f_{xxy}
[/mm]
Ich habe mir dazu mal den Wikipediabeitrag: http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung zu gemuete gefèhrt, doch irgendwie werde ich nicht wirklich schlau daraus.
Beim beispiel 1 wird ja sowas gemacht, wie man es bei der Einfèhrung zum Thema Ableitung einer Variablen macht...
Danke, Gruss Kuriger
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> Hallo
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> Ich kann leider morgen die Vorlesugn nicht besuchen wo
> Aufgaben in folgendem Stil behandelt werden:
> Es sei f(x,y) = [mm]e^{xy}[/mm]
> berechnen Sie die partielle Ableitung [mm]f_{xxy}[/mm]
>
Hallo,
ich weiß nicht, ob Dir das partielle Ableiten bereits geläufig sind.
[mm] f_x [/mm] bedeutet, daß die Funktion einmal nach x abgeleitet wird.
Beispiel:
f(x,y,z):= [mm] x^2+5z+ [/mm] 3z^2x
[mm] f_x(x,y,z)=2x+3z^2. [/mm]
(Man tut beim Ableiten so, als wären die anderen Variablen Konstanten.)
[mm] f_x_x_y [/mm] bedeutet, daß man die Funktion zuerst nach y und dann zweimal nach x ableiten soll.
Du kannst das bei Deiner Funktion ja mal peu a peu tun und die Ergebnisse hier vorstellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 23.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo und guten Abend
Nach x abgeleitet: Wie schreibt man das korrekt auf? y * [mm] e^{xy} [/mm] nun dies noch nach y abgeleitet: xy * [mm] e^{xy}, [/mm] ich hoffe das stimmt so...
Nun in diesem Fall hätte es ja keine Rolle gespielt, ob ich zuerst nach x oder y abgeleitet hätte. Ist das hier zufall?
Danke, Gruss Kuriger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Do 23.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Also meine Schlussfrage etwas umformuliert war: Wann gilt [mm] f_{xy} [/mm] = [mm] f_{yx}?
[/mm]
Danke, gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo und guten Abend
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> Nach x abgeleitet: Wie schreibt man das korrekt auf? y *
> [mm]e^{xy}[/mm] nun dies noch nach y abgeleitet: xy * [mm]e^{xy},[/mm] ich
[mm]f_{x}\left(x,y\right)=\bruch{\partial}{\partial x}\left(e^{xy}\right)=y*e^{x*y}[/mm]
> hoffe das stimmt so...
Die partielle Ableitung [mm]f_{xy}\left(x,y\right)[/mm] mußt Du nochmal nachrechnen.
Bei der Bestimmung dieser partiellen Ableitung
kommt die Produktregel zum Einsatz.
>
> Nun in diesem Fall hätte es ja keine Rolle gespielt, ob
> ich zuerst nach x oder y abgeleitet hätte. Ist das hier
> zufall?
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> Danke, Gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:37 Fr 24.09.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Nun in diesem Fall hätte es ja keine Rolle gespielt, ob
> ich zuerst nach x oder y abgeleitet hätte. Ist das hier
> zufall?
Nein.
1. Im allgemeinen ist $ [mm] f_{xy} [/mm] $ [mm] \ne [/mm] $ [mm] f_{yx} [/mm] $
2. Es gilt der SATZ von Schwarz: Ist D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] offen und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] zweimal stetig differenzierbar (d.h. alle partiellen Ableitungen von f der Ordnung [mm] \le [/mm] 2 sind auf D vorhanden und dort stetig), so gilt:
$ [mm] f_{xy} [/mm] $ = $ [mm] f_{yx} [/mm] $ auf D
FRED
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> Danke, Gruss Kuriger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Fred
Danke für die Antwort. Leider habe ich mit so abstrakten Definitionen meine Probleme. Könntest du mir deshalb ein beispiel nennen, wo eine Vertauschung zulässig ist und wo nicht, mit einer kurzen Begründung?
Ich weiss es ist wohl etwas viel verlangt, aber eben diese Formulierung bringt mich gerade nicht wirklich weiter
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Fr 24.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
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> Danke für die Antwort. Leider habe ich mit so abstrakten
> Definitionen meine Probleme. Könntest du mir deshalb ein
> beispiel nennen, wo eine Vertauschung zulässig ist und wo
> nicht, mit einer kurzen Begründung?
1. Zum Satz von Schwarz: wenn Du eine Funktion f von 2 Var. x und y hast und die partiellen Ableitungen [mm] f_x, f_y, f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx} [/mm] auf dem Def. bereich D von f existieren und dort steig sind, so gilt:
[mm] $f_{xy} [/mm] (s,t)= [mm] f_{yx} [/mm] (s,t)$ in jedem (s,t) [mm] \in [/mm] D.
Entpr. gilt für Funktionen von mehr als 2 Var.
Links:
http://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m2/pd/6-part-hoch.pdf
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Schwarz
2.Betrachte mal die Funktion
$ [mm] f:\IR^2 \rightarrow \IR, \vektor{x \\ y} \mapsto \begin{cases} \bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & \mbox{für } {x \choose y} \not= {0 \choose 0} \\ 0, & \mbox{für } {x \choose y} = {0 \choose 0} \end{cases} [/mm] $
Überzeuge Dich von [mm] $f_{xy} [/mm] (0,0) [mm] \ne f_{yx} [/mm] (0,0)$
FRED
> Ich weiss es ist wohl etwas viel verlangt, aber eben diese
> Formulierung bringt mich gerade nicht wirklich weiter
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> Danke, Gruss Kuriger
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> Nun in diesem Fall hätte es ja keine Rolle gespielt, ob
> ich zuerst nach x oder y abgeleitet hätte. Ist das hier
> zufall?
Hallo,
nein, das ist kein Zufall.
Du kannst Dir merken, daß dies für Funktionen, die aus "normalen" Funktionen (z.B. Potenzfunktionen, sin, e-Funktion) zusammengesetzt sind und nicht irgendwie abschnittweise definiert sind, gilt.
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du es (zunächst oder sogar immer) mit solchen zu tun haben wirst.
Gruß v. Angela
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