Partielle Ableitung und Taylor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Do 26.08.2010 | | Autor: | Vampiry |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] f(x,y)=x*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}
[/mm]
Berechnen Sie die Taylorreihe von f um den Punkt (1/1) bis zur zweiten Ordnung. |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit den partiellen Ableitungen für die Taylorreihe, da meine Ableitung [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x \partial y} [/mm] nicht mit [mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial y \partial x} [/mm] übereinstimmt. Was sie ja eigentlich müssten oder?
Ich schreib mal meine bisherigen Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 1-x^{2}*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-2x+x^{3}*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] -y*x*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=-1+y^{2}*x*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}=x^{2}*y*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=-1+x^{2}*y*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}
[/mm]
Bis auf die -1 würde es ja passen...
Habe ich mich da irgendwo mit dem Ableiten verzettelt?
Danke für eure Hilfe auch zur späten Stunde^^
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Do 26.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei [mm]f(x,y)=x*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}[/mm]
> Berechnen Sie die Taylorreihe von f um den Punkt (1/1) bis
> zur zweiten Ordnung.
> Hallo!
> Ich habe ein Problem mit den partiellen Ableitungen für
> die Taylorreihe, da meine Ableitung
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}[/mm] nicht mit
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}[/mm]
> übereinstimmt. Was sie ja eigentlich müssten oder?
Ja, das muessten sie.
> Ich schreib mal meine bisherigen Ableitungen:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] =
> [mm]1-x^{2}*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}[/mm]
Das stimmt schonmal nicht. Da muss $(1 - [mm] x^2) \cdot e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$ [/mm] stehen.
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-2x+x^{3}*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}[/mm]
Hier muss $(-3x + [mm] x^3) e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$ [/mm] stehen. (Der Faktor 2 ist falsch. Der Rest koennte an den Klammern liefern.)
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] =
> [mm]-y*x*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}[/mm]
Die Ableitung stimmt.
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=-1+y^{2}*x*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}[/mm]
Hier muss $(-x + x [mm] y^2) e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$ [/mm] stehen. Kann es sein, dass du einfach gerne Klammern weglaesst, die absolut wichtig sind? Stichwort "Punkt- vor Strichrechnung"?
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}=x^{2}*y*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}[/mm]
Das stimmt nicht. Da muss $(-y + [mm] x^2 [/mm] y) [mm] e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}$ [/mm] stehen.
> [mm]\bruch{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=-1+x^{2}*y*e^{-\bruch{x^{2}+y^{2}}{2}}[/mm]
Und hier ebenfalls.
> Bis auf die -1 würde es ja passen...
> Habe ich mich da irgendwo mit dem Ableiten verzettelt?
Dir fehlen ein Haufen Klammern und ein Vorfaktor ist falsch.
Wenn man Klammern hinsetzt, wo sie hingehoeren, dann hast du dich offenbar einfach bei [mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ [/mm] verrechnet.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Do 26.08.2010 | | Autor: | Vampiry |
Ok, danke, habe mich da voll bei der Produktregel verzettelt und die Ausklammerung der e-Funktion einfach vergessen^^
Danke!
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