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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Partielle Ableitungen
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Partielle Ableitungen: Ableitung 2. Ordnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 So 25.07.2010
Autor: Vampiry

Aufgabe
Berechnen Sie alle zweiten partiellen Ableitungen der Funktion [mm] f(x,y,z)=xyze^{yz}. [/mm]

Also, ich habe für jede Varible einzeln schon die 2. Ableitung gemacht:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=ye^{yz} [/mm] (1. Abl.)
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0 [/mm] (2. Abl.)

[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= xe^{yz}+xyze^{yz} [/mm] (1. Abl.)
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=xze^{yz}(2+yz) [/mm] (2. Abl.)

[mm] \bruch{\partial f}{\partial z}=xy^{2}e^{yz} [/mm] (1. Abl.)
[mm] \bruch{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=xy^{3}e^{yz} [/mm] (2. Abl.)

So und jetzt kann man ja noch für xy ; xz und yz die partiellen Ableitungen bilden.
Wie genau funktioniert das?
Danke für eure Hilfe!
        
Bezug
Partielle Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 So 25.07.2010
Autor: Tyskie84

Hallo,

> Berechnen Sie alle zweiten partiellen Ableitungen der
> Funktion [mm]f(x,y,z)=xyze^{yz}.[/mm]
>  Also, ich habe für jede Varible einzeln schon die 2.
> Ableitung gemacht:
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=ye^{yz}[/mm] (1. Abl.) [notok] es muss [mm] yze^{yz} [/mm] heissen!
>  [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0[/mm] (2. Abl.) [ok]
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= xe^{yz}+xyze^{yz}[/mm] (1.
> Abl.) [notok]
>  [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=xze^{yz}(2+yz)[/mm] (2.
> Abl.) [notok]
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}=xy^{2}e^{yz}[/mm] (1. Abl.) [ok]
>  [mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=xy^{3}e^{yz}[/mm] (2.
> Abl.) [notok]
>  
> So und jetzt kann man ja noch für xy ; xz und yz die
> partiellen Ableitungen bilden.
>  Wie genau funktioniert das?
>  Danke für eure Hilfe!

Um [mm] \frac{\partial^{2}}{\partial\\xy} [/mm] zu bilden musst du zunächst f nach x diefferenzieren und dann nach y.

[hut] Gruß
Bezug
                
Bezug
Partielle Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 So 25.07.2010
Autor: Vampiry

[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=ye^{yz}[/mm] (1. Abl.) [notok] es
> muss [mm]yze^{yz}[/mm] heissen!

Woher kommt den bei der ersten Lösung das z? Der Exponent fällt doch weg, da kein x dort drin ist, oder nicht?

Und was ist bei den anderen Lösungen falsch? Hab ich da was vergessen oder wie geht das?
Danke^^
Bezug
                        
Bezug
Partielle Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 So 25.07.2010
Autor: M.Rex

Hallo

> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=ye^{yz}[/mm] (1. Abl.) [notok] es
> > muss [mm]yze^{yz}[/mm] heissen!
>  
> Woher kommt den bei der ersten Lösung das z? Der Exponent
> fällt doch weg, da kein x dort drin ist, oder nicht?

Wieso? Schreibe mal um:
[mm] f(x,y,z)=xyze^{yz}=yze^{yz}*x [/mm]

>  
> Und was ist bei den anderen Lösungen falsch? Hab ich da
> was vergessen oder wie geht das?

Du hast hier jeweils die MBProduktregel anzuwenden, da die "Ableitungsvariable" jeweils im Exponenten der e-Funktion und im "Produktteil" vorkommen.
Also (nach z)
[mm] f(x,y,z)=xyze^{yz}=\underbrace{xy}_{\text{konstanter Faktor}}*\underbrace{z}_{u}*\underbrace{e^{yz}}_{v} [/mm]


>  Danke^^

Marius
Bezug
        
Bezug
Partielle Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 So 25.07.2010
Autor: Vampiry

ok ähm ich habe einen fehler in meiner ersten Frage gefunden...es muss [mm] f(x,y,z)=xye^{yz} [/mm] heissen und nicht xyz^^
sorry...
Wie sehen dann meine Lösungen aus? sind die dann richtig?
Sorry nochmal!
Bezug
                
Bezug
Partielle Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 So 25.07.2010
Autor: Tyskie84

Hallo,

dann stimmen alle Ableitungen [ok]

[hut] Gruß

Bezug
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