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| Aufgabe | Wenn eine Funktion in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] die Ableitung [mm] f’(x_0)=A, [/mm] mit A [mm] \in \IR^{m\times n}, [/mm] besitzt, dann existieren alle partiellen Ableitungen [mm] \vektor{\bruch{\partial f_j}{\partial x_i}} [/mm] darstellbar in einer Matrix A.
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Hallo,
also ich muss irgendwelche Definitionen so anwenden können, um zu zeigen, dass wenn eine Funktion in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] eine Ableitung hat, dann auch alle partiellen Ableitungen existieren. Wenn ich das richtig verstanden habe, sind doch partielle Ableitungen nichts anderes, als alle Variablen bis auf die eine, nach der man ableitet, festzuhalten und dann wie gewohnt den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden-dann erhält man die Änderung in eine „Richtung“. Die Voraussetzung ist nun, dass die (totale?) Ableitung in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] existiert- ist diese Ableitung denn nicht einfach die Addition aller partiellen Ableitungen und somit impliziert die Voraussetzung schon gewissermaßen das was zu zeigen ist?
Wäre dankbar, wenn mir jemand schnell helfen könnte!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Do 14.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist sicher nicht die Addition! wie soll das die Matrix geben? du musst schon die def. der totalen ableitung verwenden, und die der partiellen,
erst dann kannst ud die matrix aus den partiellen abl. auch bilden. (siehe Jakobimatrix)
der beweis ist in vielen analysisbüchern zu finden! ein ziel des studiums ist, mit büchern umgehen zu lernen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Theoretix |
Sorry, habe in der Hektik zum falschen Beitrag diese Frage gestellt!
Könnt Sie hier gerne löschen!
Liebe Grüße
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Hallo,
ich versuche immer noch von der Existenz der Ableitung einer Funktion f: [mm] \IR^m \to \IR^n [/mm] in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] in Form einer Jacobi Matrix auf die partiellen Ableitungen zu schließen:
In meinem Skript steht über die „totale“ Ableitung, bzw. die Differenzierbarkeit einer solchen Funktion in einem Punkt [mm] x_0, [/mm] dass sie dann differenzierbar ist, wenn sie sich in einer Umgebung von [mm] x_0 [/mm] schreiben lässt als lineare Approximation:
[mm] f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+R(x,x_0), [/mm] dabei ist A die Jacobi Matrix
Über eine partielle Ableitung weiß ich, dass wenn ich für einen Punkt [mm] x_0=(x_{0,1},...,x_{0,m})^T [/mm] eine Richtung festhalte und der Grenzwert existiert, dann nennt man das partielle Ableitung in diese Richtung.
Mir ist auch bekannt, dass die Jacobi Matrix eben alle Partiellen Ableitungen enthält.
Ich weiß aber überhaupt nicht, wie ich an den Beweis rangehen soll: Wenn ich doch als Voraussetzung habe, dass f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist, also die Jacobi Matrix existiert, dann weiß ich doch schon aus der Definition der Jacobi Matrix, dass diese eben alle partiellen Ableitungen enthält, also was muss ich da noch beweisen?
Vllt mache ich es mir auch zu einfach, aber ich sehe da nichts zu beweisen.
Wäre für Hilfe sehr dankbar!
Liebe Grüße und danke schonmal für die Mühe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Do 28.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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