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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Partielle Diffbarkeit zeigen
Partielle Diffbarkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Partielle Diffbarkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Sei f: [mm] IR^n-->IR [/mm] in 0 partiell diffbar mit f(0)=0. Zeige, dass [mm] g:IR^n-->IR, [/mm] g(x)=f(x)|1+f(x)| in partiell diffbar ist mit grad g(0)= grad f(0).

Hallo,

Ich würde ganz spontan mal mit der Definition beginnen:
Also ich muss ja zeigen, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{g(x+he_i)-g(x)}{h} [/mm] für x=0 existiert

D.h. [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+he_i)|1+f(x+he_i)|-f(x)|1+f(x))}{h} [/mm]

=  [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)|1+f(he_i)|}{h} [/mm]

wobei hier die 0 eingesetzt wurde und f(0)=0 ausgenutzt wurde.

Jetzt weiß ich ja dass [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h} [/mm] existiert. Aber jetzt komme ich irgendwie nicht weiter. Muss ich was abschätzen?

        
Bezug
Partielle Diffbarkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mi 30.07.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei f: [mm]IR^n-->IR[/mm] in 0 partiell diffbar mit f(0)=0. Zeige,
> dass [mm]g:IR^n-->IR,[/mm] g(x)=f(x)|1+f(x)| in partiell diffbar ist
> mit grad g(0)= grad f(0).
>  Hallo,
>  
> Ich würde ganz spontan mal mit der Definition beginnen:
>  Also ich muss ja zeigen, dass der Grenzwert
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{g(x+he_i)-g(x)}{h}[/mm] für x=0
> existiert
>  
> D.h. [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+he_i)|1+f(x+he_i)|-f(x)|1+f(x))}{h}[/mm]
>  
> =  [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)|1+f(he_i)|}{h}[/mm]
>  
> wobei hier die 0 eingesetzt wurde und f(0)=0 ausgenutzt
> wurde.
>  
> Jetzt weiß ich ja dass [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> existiert.

Du weißt doch, dass das $=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}$ ist. Was passiert nun noch mit $|1+f(he_i)|$
bei $h \to 0$ (mit Begründung)  und was folgt dann? Du hast bis jetzt
gerechnet (mit $x=0 \in \IR^n$)

    $\frac{\partial g(0)}{\partial x_i}=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{g(x+he_i)-g(x)}{h}=...=\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}*\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}*\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|$

Hinweis: Beachte, dass $x \mapsto |x|$ (als Funktion $\IR \to \IR$) stetig in der
reellen 0 ist, und dass aus der Existenz von

    $\lim_{h \to 0} \frac{f(0+he_i)-f(0)}{h}$

notwendig

    $\lim_{h \to 0} f(he_i)=...?$ (was gehört da hin)

folgt. Natürlich ist hier $f\,$ nicht notwendig differenzierbar in $0 \in \IR^n\,.$ Aber die
Funktion $u_i \colon \IR \ni x \mapsto f(0+x*e_i)$ (wobei $0 \in \IR^n$ gemeint ist)
ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen. Die Existenz von $\partial f(0)/\partial x_i$
bedeutet nichts anderes als die Existenz von $\left.u_i'(x)\right|_{x=0}\,.$
Und dafür muss die Funktion $u_i(x)$ insbesondere  stetig in der (reellen)
Stelle $x=0\,$ sein - zudem ist hier $u_i(0)=f(\textbf{0}+0*e_i)=f(\textbf{0})=0$ (ich habe hier, der Deutlichkeit
wegen, mal $\textbf{0}$ für die $\IR^n$-Null geschrieben).

Dein Fazit sollte übrigens sein: Alle partiellen Ableitungen von $g\,$ an der Stelle
$\textbf{0}$ existieren und stimmen dort mit den entsprechenden partiellen
Ableitungen von $f\,$ an der Stelle $\textbf{0}$ überein. Wie machst Du nun
weiter? (Ist ja nicht mehr viel zu tun...)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Partielle Diffbarkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Also habe ich ja

...= [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)| [/mm] = [mm] \frac{\partial f(0)}{\partial x_i}, [/mm] da  [mm] \lim_{h \to 0} f(he_i)= [/mm] 0 ist. Also ist g in 0 partiell diffbar mit grad g(0)= grad f(0)

Bezug
                        
Bezug
Partielle Diffbarkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:09 Do 31.07.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Also habe ich ja
>
> ...= [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(he_i)}{h}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|=\frac{\partial f(0)}{\partial x_i}\cdot{}\lim_{h \to 0}|1+f(he_i)|[/mm]
> = [mm]\frac{\partial f(0)}{\partial x_i},[/mm] da  [mm]\lim_{h \to 0} f(he_i)=[/mm]  0 ist.

[ok]

> Also ist g in 0 partiell diffbar mit grad g(0)= grad f(0)

Genau - denn letzteres folgt, weil an der Stelle 0 alle partiellen
Ableitungen in von f und g übereinstimmen (siehe obige Rechnung).

Gruß,
  Marcel

Bezug
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