Partielle Differentiation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 30.07.2007 | | Autor: | Trappi |
| Aufgabe | Berechnen Sie zu den folgenden Funktionen sämtliche partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung.
a) [mm]f:\IR^3 \rightarrow \IR, (x,y,z)\rightarrow\frac{x^2y}{z^2+1}[/mm]. |
Mein Problem liegt wohl an meinen noch recht lückenhaften Mathekenntnissen. Ich habe die erste partielle Ableitung für x und y gemacht und auch (laut Musterlösung) richtig:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}=\frac{2xy}{z^2+1}[/mm] und [mm]\frac{\partial}{\partial y}=\frac{x^2}{z^2+1}[/mm].
Für die erste partielle Ableitung nach z erhalte ich nach meiner Logik [mm]\frac{\partial}{\partial z} = \frac{-2z}{(z^2+1)^2}[/mm]. Dies ist aber laut Musterlösung falsch, da die Lösung [mm]\frac{\partial}{\partial z} = x^2y\frac{-2z}{(z^2+1)^2}[/mm] sein müsste.
Meine Frage an euch ist nun, ob mir jemand von euch erklären kann, wie ich auf die korrekte Lösung komme. Das wäre echt nett. Schon mal vielen Dank im Voraus.
Vlg,
Trappi
P.S.: Seit nicht zu hart mit mir, ich bin mir über meine Defizite leider im Klaren :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Trappi,
bei der partiellen Ableitung nach z, also bei [mm] \frac{\partial f}{\partial z}, [/mm] differenzierst du ja nach z, du musst also x und y wie Konstante behandeln, stelle dir vor, es seien irgendwelche reellen Zahlen
Dann schreiben wir die Funktion noch ein wenig um, damit man's besser sieht...:
f(x,y,z)= [mm] \frac{x^2y}{z^2+1}=x^2y\cdot{}\frac{1}{z^2+1}
[/mm]
Nun nach z (!!) differenzieren..
[mm] \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=x^2y\cdot{}\left(-\frac{2z}{(z^2+1)^2}\right)
[/mm]
Also wird effektiv nur das [mm] \frac{1}{z^2+1} [/mm] abgeleitet - mit der Quotientenregel - das $x^2y$ bleibt als multiplikative Konstante so stehen..
Ich hoffe, das klärt deine Frage, ansonsten frag nochmal nach 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mo 30.07.2007 | | Autor: | Trappi |
Hallo schachuzipus,
jetzt wird mir das schon um einiges klarer. So simpel und ich habe es nicht verstanden. Vielen Dank für deine schnelle und freundliche Hilfe :)
Vlg,
Trappi
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