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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{5x}{x^3+x^2-2} dx} [/mm] |
Hallo,
Ich hänge bei folgender Integrale, und zwar, bin ich so vorgegangen:
Partialbruchzerlegung:
[mm] (x^3+x^2-2)/(x-1)=x^2+2x+2
[/mm]
[mm] \bruch{Ax+B}{x^3+x^2-2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-1}
[/mm]
...
A=-1
B=2
C=1
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^2+2x+2} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{(x+1)^2+1} dx}+ln(x-1)+C
[/mm]
Substituieren:
t=x+1
dt=1dx dx=dt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt} +\integral_{}^{}{\bruch{2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt} [/mm] +2arctan(t)+ln(x-1)+C
Nur weiss ich jetzt nicht wie ich das x im Zähler raus bekommen soll.. ?
Könnte mir da jemand bitte helfen ?
Danke lG
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Hallo elektroalgebra93,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{5x}{x^3+x^2-2} dx}[/mm]
> Hallo,
>
> Ich hänge bei folgender Integrale, und zwar, bin ich so
> vorgegangen:
> Partialbruchzerlegung:
> [mm](x^3+x^2-2)/(x-1)=x^2+2x+2[/mm]
> [mm]\bruch{Ax+B}{x^3+x^2-2}[/mm] + [mm]\bruch{C}{x-1}[/mm]
> ...
> A=-1
> B=2
> C=1
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^2+2x+2} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{(x+1)^2+1} dx}+ln(x-1)+C[/mm]
>
> Substituieren:
> t=x+1
> dt=1dx dx=dt
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt} +\integral_{}^{}{\bruch{2}{t^2+1} dt}+ln(x-1)+C[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x}{t^2+1} dt}[/mm]
> +2arctan(t)+ln(x-1)+C
>
> Nur weiss ich jetzt nicht wie ich das x im Zähler raus
> bekommen soll.. ?
>
Wenn Du substituierst, dann musst Du auch alles ersetzen.
Du hast substituiert: [mm]t=x+1[/mm]
Dann ist [mm]x=t-1[/mm]
> Könnte mir da jemand bitte helfen ?
> Danke lG
>
Gruss
MathePower
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Danke, aber ich komm da trotzdem nicht "durch" durch diese Integrale..
Könnten Sie eventuell diese Integrale ausrechnen bitte, damit ich sehe wie man da vorgehen soll.. Und es ist keine Hausaufgabe sondern Lernstoff :)
lG
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Hallo elektroalgebra93,
> Danke, aber ich komm da trotzdem nicht "durch" durch diese
> Integrale..
> Könnten Sie eventuell diese Integrale ausrechnen bitte,
> damit ich sehe wie man da vorgehen soll.. Und es ist keine
> Hausaufgabe sondern Lernstoff :)
>
Gerade weil es Lernstoff ist, sollst Du es selbst ausrechnen.
DIeses Integral ist doch auszurechnen:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^{2}+2x+2}\ dx}[/mm]
Nach der Substitution t=x+1, dt = dx, sieht das so aus:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{-t+1+2}{t^{2}+1}\ dt}=\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^{2}+1}\ dt}[/mm]
Dies wiederum lässt sich aufspalten:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^{2}+1}\ dt}=\integral_{}^{}{\bruch{-t}{t^{2}+1}\ dt}+\integral_{}^{}{\bruch{+3}{t^{2}+1}\ dt}[/mm]
Das erste Integral auf der rechten Seite
läßt sich durch die Substitution [mm]u=t^{2}+1[/mm] lösen.
Das zweite Integral auf der rechten Seite
läßt sich durch die Substitution [mm]t=\tan\left(u\right)[/mm] lösen.
> lG
Gruss
MathePower
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^{2}+2x+2}\ dx}[/mm]
t=x+1
dt=1dx dx=dt
x=t-1
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{-t+1+2}{t^2+1}\ dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^2+1}\ dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{-t}{t^2+1}\ dt}+\integral_{}^{}{\bruch{3}{t^2+1}\ dt}
[/mm]
[mm] =-\integral_{}^{}{\bruch{t}{t^2+1}\ dt}+3\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2+1}\ dt}
[/mm]
[mm] u=t^2+1
[/mm]
du=2tdx dx=du/2t
[mm] =-\integral_{}^{}{\bruch{t}{u}\ du/2t}+3arctan(t)+C
[/mm]
[mm] =-\integral_{}^{}{\bruch{1}{2u}\ du}+3arctan(t)+C
[/mm]
[mm] =-\bruch{ln(u)}{2}+3arctan(t)+C
[/mm]
rück-substituieren
[mm] =-\bruch{ln(t^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C
[/mm]
[mm] =-\bruch{ln((x+1)^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C
[/mm]
Wenn das jetzt richtig ist dann fühl ich mich schon viel besser!!
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Hallo elektroalgebra93,
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-x+2}{x^{2}+2x+2}\ dx}[/mm]
>
> t=x+1
> dt=1dx dx=dt
> x=t-1
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{-t+1+2}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{-t+3}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{\bruch{-t}{t^2+1}\ dt}+\integral_{}^{}{\bruch{3}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>
> [mm]=-\integral_{}^{}{\bruch{t}{t^2+1}\ dt}+3\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^2+1}\ dt}[/mm]
>
> [mm]u=t^2+1[/mm]
> du=2tdx dx=du/2t
> [mm]=-\integral_{}^{}{\bruch{t}{u}\ du/2t}+3arctan(t)+C[/mm]
>
> [mm]=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{2u}\ du}+3arctan(t)+C[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{ln(u)}{2}+3arctan(t)+C[/mm]
> rück-substituieren
> [mm]=-\bruch{ln(t^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C[/mm]
> [mm]=-\bruch{ln((x+1)^2+1)}{2}+3arctan(x+1)+C[/mm]
>
> Wenn das jetzt richtig ist dann fühl ich mich schon viel
> besser!!
>
Das ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Wow sehr cool, danke für deine Hilfe!!
lG
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