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Partielle Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Fr 18.04.2014
Autor: Leon25

Aufgabe
Berechnen Sie mittels partieller Integration [mm] \int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\, [/mm] dx

Hallo ich habe ein Problem mit folgender Integration,

[mm] \int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\, [/mm] dx = [mm] \left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1 [/mm] - [mm] \int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\, [/mm] dx

= [mm] \left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1 [/mm] - [mm] \left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1 [/mm]

[mm] =e^1*1^2 -e^0*0^2-\left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1 [/mm]

=e [mm] -(2*1*e^1-2*e^1-2*0*e^0-2*e^0) [/mm]

=e-(-2)

=e+2

Ich muss das Integral ohne Taschenrechner ausrechnen können.
Da kommt zunächst das Problem auf dass ich Schwierigkeiten habe eine Stammfunktion für [mm] \int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\, [/mm] dx zu finden (ich hab zwar eine gefunden aber nur mit Taschenrechner) und das nächste Problem ist dass das Ergebnis falsch ist, denn wenn ich mit meinem Taschenrechner nachrechne erhalte ich e-2.

Gibt es irgendeinen Trick um Stammfunktionen zu bilden und wo liegt der Fehler in meiner Rechnung ?

Wie immer Vielen Dank an alle die mir Helfen

Gruß
Leon

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Fr 18.04.2014
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]
> Berechnen Sie mittels partieller Integration [mm]\int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\,[/mm]
> dx
> Hallo ich habe ein Problem mit folgender Integration,

>

> [mm]\int_{0}^{1} x^2 \cdot e^x\,[/mm] dx = [mm]\left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1[/mm]
> - [mm]\int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\,[/mm] dx

>

> = [mm]\left[ e^x \cdot x^2 \right]_0^1[/mm] - [mm]\left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1[/mm]

>

> [mm]=e^1*1^2 -e^0*0^2-\left[ 2x*e^x-2e^x \right]_0^1[/mm]

>

> =e [mm]-(2*1*e^1-2*e^1-2*0*e^0-2*e^0)[/mm]

>

> =e-(-2)

>

> =e+2

>

> Ich muss das Integral ohne Taschenrechner ausrechnen
> können.
> Da kommt zunächst das Problem auf dass ich
> Schwierigkeiten habe eine Stammfunktion für [mm]\int_{0}^{1} e^x \cdot 2x\,[/mm]
> dx zu finden (ich hab zwar eine gefunden aber nur mit
> Taschenrechner) und das nächste Problem ist dass das
> Ergebnis falsch ist, denn wenn ich mit meinem
> Taschenrechner nachrechne erhalte ich e-2.

Das Ergebnis stimmt in der Tat

[mm] $\int\limits_{0}^{1}x^{2}\cdot e^{x}dx=e-2$ [/mm]

>

> Gibt es irgendeinen Trick um Stammfunktionen zu bilden und
> wo liegt der Fehler in meiner Rechnung ?


Du brauchst hier die doppelte partielle Integration, die Grenzen lasse ich mal der Überischt halber weg.


[mm] $\int x^{2}\cdot e^{x}dx$ [/mm]
[mm] $\left[x^{2}\cdot e^{x}\right]-\int 2x\cdot e^{x}dx$ [/mm]
[mm] $\left[x^{2}\cdot e^{x}\right]-\left(\left[2x\cdot e^{x}\right]-\int 2\cdot e^{x}dx\right)$ [/mm]
[mm] $\left[x^{2}\cdot e^{x}\right]-\left(\left[2x\cdot e^{x}\right]-2\cdot e^{x}\right)$ [/mm]

Jetzt klammere noch [mm] e^{x} [/mm] aus und beachte die Minusklammer, dann hast du eine Stammfunktion zu [mm] $f(x)=x^{2}\cdot e^{x}$ [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
Partielle Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Fr 18.04.2014
Autor: Leon25

Super, Vielen Dank für deine schnelle Hilfe !

Gruß Leon

Bezug
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