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Hallo,
ich versuche mich grad zum ersten Mal an einer partiellen Integration. Das Integral lautet:
[mm]\integral_{0}^{7}{x(x + 1)^\bruch{1}{3}dx}[/mm]
Dabei bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm]\integral f(x)g(x) = F(x)g(x) - \integral F(x)g'(x)[/mm]
Dann seien:
[mm]f(x) = (x + 1)^\bruch{1}{3} und g(x) = x
\Rightarrow
\integral x(x + 1)^\bruch{1}{3}dx = \bruch{3}{4}(x + 1)^\bruch{4}{3} * x - \integral \bruch{3}{4}(x + 1)^\bruch{4}{3} * 1 = \bruch{3x}{4}(x + 1)^\bruch{4}{3} - \integral \bruch{3}{4}(x + 1)^\bruch{4}{3}[/mm]
Dann seien:
[mm]h(x) = (x + 1)^\bruch{4}{3} und i(x) = \bruch{3}{4}
\Rightarrow
\integral h(x)i(x)dx = \bruch{3}{7}(x + 1)^\bruch{7}{3} * \bruch{3}{4} - \integral \bruch{3}{7}(x + 1)^\bruch{7}{3} * 0 dx = \bruch{3}{7}(x + 1)^\bruch{7}{3} * \bruch{3}{4}
\Rightarrow
\integral x(x + 1)^\bruch{1}{3}dx = \bruch{3}{4}(x + 1)^\bruch{4}{3} * x - \bruch{3}{7}(x + 1)^\bruch{7}{3} * \bruch{3}{4} = \bruch{3x}{4}(x + 1)^\bruch{4}{3} - \bruch{9}{28}(x + 1)^\bruch{7}{3}[/mm]
Nun meine Fragen dazu:
1. Stimmt das?
2. Wenn in der Aufgabenstellung steht:
"Berechnen Sie das Integral
[mm]\integral_{0}^{7}{x(x + 1)^\bruch{1}{3}dx}[/mm]
mithilfe partieller Integration."
Heißt das dann, ich soll das gerichtete Integral oder den eigentlichen Flächeninhalt, also den Betrag, berechnen?
Gruß und danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Dein Stammfunktion stimmt. Allerdings hättest Du hier nur einmal mit partieller Interation vorgehen brauchen. Denn beim 2. Schritt hättest Du einfach nur den Faktor [mm] $\bruch{3}{4}$ [/mm] vor das Integral ziehen brauchen.
> 2. Wenn in der Aufgabenstellung steht:
>
> "Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{0}^{7}{x(x + 1)^\bruch{1}{3}dx}[/mm] mithilfe
> partieller Integration."
>
> Heißt das dann, ich soll das gerichtete Integral oder den
> eigentlichen Flächeninhalt, also den Betrag, berechnen?
Wennn hier nicht ausdrücklich nach der fläche gefragt ist, würde ich hier das Integreal betragsfrei (also "gerichtet") ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:26 So 06.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Hallo,
ich hab jetzt das bestimmte Integral von obiger Funktion berechnet; das Ergebnis ist dabei [mm] 43,17\overline{857142}.
[/mm]
Jetzt soll ich das Gleiche nochmal berechnen, allerdings diesmal mit Einführung einer neuen Integrationsvariable t = (x + [mm] 1)^\bruch{1}{3}. [/mm] Das hab ich auch gemacht, allerdings ist dann das Ergebnis -124,44047619047619047619047619048. Dabei lautet das unbestimmte Integral jetzt:
[mm] \bruch{1}{3}(x [/mm] + [mm] 1)^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{7}(x [/mm] + [mm] 1)^\bruch{7}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(x [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}(x [/mm] + [mm] 1)^\bruch{4}{3}
[/mm]
Entweder ich hab mich beim allerersten (bestimmten) Integral verrechnet, oder das zweite unbestimmte Integral mit Substitution falsch hergeleitet oder das zweite bestimmte Integral falsch ausgerechnet. Könnt ihr's mir sagen?
Danke,
Martin
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Hallo,
ich hab jetzt nochmal gerechnet, und hab mich glaube bei der Herleitung vom unbestimmten Integral mit Substitution irgendwo vertan. Habe jetzt Folgendes:
[mm] \integral [/mm] x(x + [mm] 1)^\bruch{1}{3} [/mm] dx =
[mm] \bruch{3}{7}(x [/mm] + [mm] 1)^\bruch{7}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5}(x [/mm] + [mm] 1)^\bruch{5}{3} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}(x [/mm] + [mm] 1)^\bruch{4}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(x [/mm] + [mm] 1)^\bruch{2}{3}
[/mm]
Ist das korrekt? Ich bekomme damit leider immer noch nicht das gleiche Ergebnis wie mit dem anderen Integral (partielle Integration) heraus! Was mach ich bloß falsch?
Gruß,
Martin
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Hallo Martin,
das ist schwer zu sagen, wenn du deinen Rechenweg nicht mitpostest
Das erste Ergebnis mit 43,... ist auf jeden Fall richtig
Mit der Substitution [mm] $t=(x+1)^{\frac{1}{3}}\Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}}$, [/mm] also [mm] $dx=3(x+1)^{\frac{2}{3}}dt$
[/mm]
Außerdem ist [mm] $t^3=x+1$ [/mm] und [mm] $t^3-1=x$
[/mm]
Damit ist [mm] $\int{x(x+1)^{\frac{1}{3}}dx}=\int{x(x+1)^{\frac{1}{3}}3(x+1)^{\frac{2}{3}}dt}=3\int{x(x+1)dt}=3\int{(t^3-1)t^3dt}=3\int{t^6-t^3dt}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{7}t^7-\frac{3}{4}t^4=\frac{3}{7}(x+1)^{\frac{7}{3}}-\frac{3}{4}(x+1)^{\frac{4}{3}}$
[/mm]
Da nun die Grenzen einsetzen liefert bei mir die gleiche Lsg wie oben, also 43,...
LG
schachuzipus
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> Hallo Martin,
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> das ist schwer zu sagen, wenn du deinen Rechenweg nicht
> mitpostest
Ja, ich wollte ja eigentlich nur wissen, ob ich das bestimmte Integral im ersten Fall richtig berechnet hatte. Auf jeden Fall klappt es irgendwie immer noch nicht, und ich würd jetzt doch gern wissen, was an meinem Rechenweg nicht stimmt:
[mm] \integral [/mm] x(x + [mm] 1)^\bruch{1}{3} [/mm] dx = [mm] \integral (t^3 [/mm] - [mm] 1)(t^3 [/mm] - 1 + [mm] 1)3t^2 [/mm] dt = [mm] \integral (t^3 [/mm] - [mm] 1)t^3*3t^2 [/mm] dt = [mm] \integral (t^3 [/mm] - [mm] 1)3t^5 [/mm] dt = [mm] \integral 3t^8 [/mm] - [mm] 3t^5 [/mm] dt = [mm] \bruch{1}{3}t^9 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}t^6 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}(x [/mm] + [mm] 1)^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(x [/mm] + [mm] 1)^2
[/mm]
Sieht hier jemand de Fehlerteufel? Ich komm damit jedenfalls nicht auf 43 :-(
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Hallo Martin,
der Fehler scheint mir im 1. Umformungsschritt zu liegen.
Du hast [mm] (x+1)^{\frac{1}{3}} [/mm] durch [mm] t^3 [/mm] ersetzt, aber das ist t !!!
x ist zwar = [mm] t^3-1, [/mm] aber [mm] (x+1)^{\frac{1}{3}}=t [/mm] !!!
siehe die Substitution
Gruß
schachuzipus
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Hmmm, stimmt. Aber ich bin eigentlich anders rangegangen:
t = (x + [mm] 1)^\bruch{1}{3} [/mm] also [mm] t^3 [/mm] = x + 1 also x = [mm] t^3 [/mm] - 1.
Und eingesetzt:
[mm] \integral [/mm] x(x + [mm] 1)^\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \integral ((t^3 [/mm] - [mm] 1)((t^3 [/mm] - 1) + [mm] 1)^\bruch{1}{3})3t^2 [/mm] dt
= [mm] \integral ((t^3 [/mm] - [mm] 1)(t^3)^\bruch{1}{3})3t^2 [/mm] dt
Ist daran irgendwas falsch?
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Hallo Martin,
so ist es richtig
oben hattest du das hoch [mm] \frac{1}{3} [/mm] unterschlagen
Im letzten Integral kannst du [mm] (t^3)^{\frac{1}{3}} [/mm] noch vereinfachen zu t.
Dann sind unsere Lsgswege dieselben 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 So 06.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ui mir ist grad n ganz dummer Fehler aufgefallen: Ich hatte an einer Stelle der Herleitung des Integrals [mm] t^3 [/mm] - 1 immer wieder stur und ohne es zu merken abgeleitet in [mm] 3t^2 [/mm] - 1. Schätze das könnte der Fehler gewesen sein..gleich mal nachrechnen...
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