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| Aufgabe | Berechne mit Hilfe der partiellen Integration:
a) [mm] \integral_{1}^{e}{x^2 * ln(x) dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{a}^{b}{e^x * sin(x) dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{a}^{b}{sin^2(wt) dx} [/mm] |
für die a komme ich auf:
[mm] ln(x)*1/3*x^3 [/mm] - [mm] \integral_{1}^{e}{x^2/3 dx}
[/mm]
= [mm] ln(x)*x^3/3 [/mm] - [mm] (x^3/6)
[/mm]
=3,514
doch für die b komme ich nur bis:
[mm] e^x*sin(x) -\integral_{a}^{b}{e^x*cos(x) dx}
[/mm]
und für c:
(-sin(wt)*cos(wt))/w - [mm] \integral_{a}^{b}{-cos^2(wt) dx}
[/mm]
was ist damit dann anzufangen? oder habe ich die Regel der Partellen Integrtion falsch angewendet??
*ratlos*
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechne mit Hilfe der partiellen Integration:
> a) [mm]\integral_{1}^{e}{x^2 * ln(x) dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{a}^{b}{e^x * sin(x) dx}[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{a}^{b}{sin^2(wt) dx}[/mm]
> für die a komme ich
> auf:
> [mm]ln(x)*1/3*x^3[/mm] - [mm]\integral_{1}^{e}{x^2/3 dx}[/mm]
> = [mm]ln(x)*x^3/3[/mm]
> - [mm](x^3/6)[/mm]
> =3,514
Hallo,
Du hast das etwas krude aufgeschrieben. Sicher ist nicht [mm] ln(x)*x^3/3- (x^3/6)=3,514, [/mm] sondern Du meinst [mm] [ln(x)*x^3/3- (x^3/6)]_1^e=3,514.
[/mm]
Es stimmt allerdings nicht ganz. Überleg nochmal, was [mm] \integral_{1}^{e}{x^2/3 dx} [/mm] ergibt.
>
> doch für die b komme ich nur bis:
Generell wäre es besser, wenn Du Deine wesentlichen Zwischenschritte mit aufschreiben würdest - da bräuchte man nicht soviel selbst zu machen...
Dann solltest Du Dich weiterhin entscheiden, ob Du mit unbestimmten Intergralen rechnen möchtest oder mit solchen mit Grenzen. Nicht mischen, das gibt nur Verwirrung!
Du hast bisher also
[mm] \integral_{a}^{b}{e^x * sin(x) dx}=[e^x*sin(x)]_1^e -\integral_{a}^{b}{e^x*cos(x) dx}.
[/mm]
Nun führe eine weitere partielle Integration durch.
Du erhältst so etwas: [mm] \integral_{a}^{b}{e^x * sin(x) dx}=... [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{e^x * sin(x) dx}.
[/mm]
Dann kommt ein Standardtrick: ==> [mm] 2*\integral_{a}^{b}{e^x * sin(x) dx}=..., [/mm] und damit hast Du dann Dein Integral.
>
> [mm]e^x*sin(x) -\integral_{a}^{b}{e^x*cos(x) dx}[/mm]
>
> und für c:
>
> (-sin(wt)*cos(wt))/w - [mm]\integral_{a}^{b}{-cos^2(wt) dx}[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{sin^2(wt) dx}=[(-sin(wt)*cos(wt))/w]_a^b [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{-cos^2(wt) dx}
[/mm]
[mm] =[(-sin(wt)*cos(wt))/w]_a^b [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{cos^2(wt) dx}
[/mm]
Nun bedenke, daß [mm] cos^{2}x=1-sin^{2}x, [/mm] und verwende anschließend einen ähnlichen Trick wie bei der b).
>
> was ist damit dann anzufangen?
wie Du siehst: viel!
> oder habe ich die Regel der
> Partellen Integrtion falsch angewendet??
In keinster Weise!
>
> *ratlos*
Du hättest bloß weitermachen müssen.
Gruß v. Angela
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Hi danke ertmal, hast mir schon viel weiter geholfen.
>Generell wäre es besser, wenn Du Deine wesentlichen Zwischenschritte >mit aufschreiben würdest - da bräuchte man nicht soviel selbst zu >machen...
ja simmt, sorry.
>Es stimmt allerdings nicht ganz. Überleg nochmal, was $ [mm] \integral_{1}^{e}{x^2/3 dx} [/mm] $ ergibt.
ok ich sehs (flüchtigkeitsfehler), richtig wäre also:
[mm] \integral_{1}^{e}{x^2*ln(x) dx}= |ln(x)*1/3*x^3| _{1}^{e}- \integral_{1}^{e}{x^2/3 dx}
[/mm]
==> [mm] \integral_{1}^{e}{x^2*ln(x) dx}= |ln(x)*1/3*x^3| _{1}^{e}- |x^3/9|_{1}^{e}=(0-1/9)-(6,7 [/mm] - 2,23) = -4,58
zu b) [mm] \integral{e^x*sin(x) dx} [/mm] = [mm] e^x*sin(x)-\integral{e^x*cos(x)}
[/mm]
für [mm] \integral{e^x*cos(x)} [/mm] nochmals die Partielle Integration:
[mm] \integral{e^x*cos(x)}=|e^x*sin(x)|-\integral{e^x*sin(x)}
[/mm]
das eingesetzt ergibt also:
[mm] \integral{e^x*sin(x) dx} [/mm] = [mm] e^x*sin(x)-|e^x*sin(x)|-\integral{e^x*sin(x)}
[/mm]
[mm] =2*\integral{e^x*sin(x) dx} [/mm] = [mm] e^x*sin(x)-|e^x*sin(x)| [/mm] = 0
und für c) :
da ich nicht so recht verstehe wieso [mm] cos^2(x)=1- sin^2(x) [/mm] ist bin ich einfach mal so wie bei b) vorgegangen:
also bisher haben wir:
[mm] \integral{sin^2(wt)}=|(-sin(wt)*cos(wt))/(w)|+\integral{cos^2(wt)dx}
[/mm]
für [mm] \integral{cos^2(wt)dx} [/mm] erhält man:
[mm] |(cos(wt)*sin(wt))/(w)|-\integral{-sin(wt)*w*sin(wt)/w dx}
[/mm]
einsetzen:
[mm] \integral{sin^2(wt)}=|(-sin(wt)*cos(wt))/(w)|+|(cos(wt)*sin(wt))/(w)|-\integral{-sin(wt)*w*sin(wt)/w dx}
[/mm]
hmm, und somit hätte man dann
[mm] \integral{sin^2(wt)}=\integral{sin^2(wt)} [/mm] ???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Winnifred!
Der Zahlenwert für Dein Integral [mm] $\integral_1^e{x^2*\ln(x) \ dx}$ [/mm] stimmt fast. Allerdings nicht das Vorzeichen, da hast Du die Grenzen falsch eingesetzt:
[mm] $\integral_1^e{x^2*\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \bruch{x^3}{3}*\ln(x)-\bruch{x^3}{9} \ \right]_1^e [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \bruch{e^3}{3}*\ln(e)-\bruch{e^3}{9} \ \right)-\left( \ \bruch{1^3}{3}*\ln(1)-\bruch{1^3}{9} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^3}{3}*1-\bruch{e^3}{9}-0+\bruch{1}{9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2e^3+1}{9} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ 4.57$
Gruß
Loddar
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> ok ich sehs (flüchtigkeitsfehler), richtig wäre also:
> [mm]\integral_{1}^{e}{x^2*ln(x) dx}= |ln(x)*1/3*x^3| _{1}^{e}- \integral_{1}^{e}{x^2/3 dx}[/mm]
>
> [mm] ==>\integral_{1}^{e}{x^2*ln(x) dx}= |ln(x)*1/3*x^3| _{1}^{e}- |x^3/9|_{1}^{e}=
[/mm]
Hallo,
bis hierher ist's noch richtig, aber Deine Zahlen sind rätselhaft... Oder genauer: falsch.
> (0-1/9)-(6,7- 2,23) = -4,58
>
>
> zu b) [mm]\integral{e^x*sin(x) dx}[/mm] =
EDIT: s. Loddars Antwort
>
> und für c) :
>
> da ich nicht so recht verstehe wieso [mm]cos^2(x)=1- sin^2(x)[/mm]
> ist
Selbst, wenn man es nicht richtig versteht, MUSS man es wissen: [mm] sin^2x+cos^2=1. [/mm] Nie wieder vergessen?
DASS es so ist, kannst Du Dir am Einheitskreis klarmachen. Pythagoras.
bin ich einfach mal so wie bei b) vorgegangen:
> also bisher haben wir:
>
> [mm]\integral{sin^2(wt)}dt=|(-sin(wt)*cos(wt))/(w)|+\integral{cos^2(wt)dt}[/mm]
Du machst es zu kompliziert:
[mm] \integral{sin^2(wt)}dt=-sin(wt)*cos(wt))/w+\integral{cos^2(wt)dt}
[/mm]
[mm] =-sin(wt)*cos(wt))/w+\integral{(1-sin^2(\omega t)dt}
[/mm]
[mm] =-sin(wt)*cos(wt))/w+\integral [/mm] 1dt [mm] -\integral sin^2(\omega [/mm] t)dt
==> [mm] 2\integral{sin^2(wt)}dt=???
[/mm]
Eine Bemerkung noch:
in Deiner Aufgabenstelleung schreibst Du, daß Du $ [mm] \integral_{a}^{b}{sin^2(wt) dx} [/mm] $ berechnen sollst.
Ich vermute, daß dies ein Versehen ist, und Du in Wahrheit [mm] \integral_{a}^{b}{sin^2(wt) dt} [/mm] berechnen sollst, wie oben durchgeführt.
Falls wirklich [mm] \integral_{a}^{b}{sin^2(wt) dx} [/mm] dasteht, ist man schnell fertig.
[mm] \integral_{a}^{b}{sin^2(wt) dx}=sin^2(wt)(b-a).
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Winnifred!
Beim 2. Schritt der partiellen Integration musst Du bei der Wahl von $u_$ und $v'_$ aufpassen.
Denn hier musst Du für [mm] $\integral{e^x*\cos(x) \ dx}$ [/mm] wählen:
$u \ := \ [mm] \cos(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \sin(x)$
[/mm]
$v' \ = \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{e^x*\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\cos(x)-\integral{e^x*[-\sin(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\sin(x)+\integral{e^x*\sin(x) \ dx}$
[/mm]
Dies nun eingesetzt in das 1. Integral erhalten wir:
[mm] $\integral{e^x*\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x*\sin(x)-e^x*\cos(x)-\integral{e^x*\sin(x) \ dx}$
[/mm]
Den ähnlichen Fehler mit dem 2. Schritt der partiellen Integration machst Du auch bei Aufgabe c.) ...
Gruß
Loddar
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$ [mm] \integral{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\cos(x)-\integral{e^x\cdot{}[-\sin(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\sin(x)+\integral{e^x\cdot{}\sin(x) \ dx} [/mm] $
wieso wird denn aus dem [mm] e^x*cos(x) [/mm] - [mm] \integral [/mm] ..... ein [mm] e^x*sin(x) [/mm] + [mm] \integral [/mm] .... ??
müsste es nicht [mm] e^x*sin(x) [/mm] + [mm] \integral [/mm] .... werden???
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> [mm]\integral{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx} \ = \ e^x\cdot{}\cos(x)-\integral{e^x\cdot{}[-\sin(x)] \ dx} \ = \ e^x\cdot{}\sin(x)+\integral{e^x\cdot{}\sin(x) \ dx}[/mm]
>
> wieso wird denn aus dem [mm]e^x*cos(x)[/mm] - [mm]\integral[/mm] ..... ein
> [mm]e^x*sin(x)[/mm] + [mm]\integral[/mm] .... ??
Hallo,
es hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Es muß heißen
\ [mm] e^x\cdot{}\cos(x)-\integral{e^x\cdot{}[-\sin(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x\cdot{}\cos(x)+\integral{e^x\cdot{}\sin(x) \ dx} [/mm] $.
Meintest Du das?
> müsste es nicht [mm]e^x*sin(x)[/mm] + [mm]\integral[/mm] .... werden???
???
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Winnifred |
ja, das meinte ich... war irgendwie verwirrend :)
und, ja klar [mm] sin2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] ..... natürlich kenne ich das. Habe nur die Verbindung in dem Moment nicht gefunden....*selbst ärger*
Jedenfalls ist dann demnach:
[mm] 2*\integral{sin^2(wt) dt}=[sin(wt)*(-cos(wt))/(w)+t]
[/mm]
eigentlich doch einfach wenn man gerade die richtigen zusammenhänge findet :)
und [mm] \integral{e^x*sin(x) dx}
[/mm]
nach ertser Integration:
[mm] -e^x*cos(x)+\integral{e^x*cos(x) dx}
[/mm]
zweite Integration (cos(x)=V' [mm] e^x=U):
[/mm]
[mm] \integral{e^x*cos(x) dx}=e^x*sin(x)-\integral{e^x*sinx}
[/mm]
eingesetzt:
[mm] \integral{e^x*sin(x) dx}=-e^x*cos(x)+e^x*sin(x)-\integral{e^x*sinx}
[/mm]
[mm] 2*\integral{e^x*sin(x) dx}=[-e^x*cos(x)+e^x*sin(x)]
[/mm]
danke für die schnelle Hilfe, echt super :)
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