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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Di 04.03.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Löse das Integral mittels partieller Integration.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] |
Ich gehe nun so vor:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}=\integral_{}^{}{1(x)*\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
[mm] f(x):=\bruch{1}{x} \to [/mm] f [mm] '(x):=-\bruch{1}{x²}
[/mm]
g´(x):=1(x) [mm] \to [/mm] g(x)=x
[mm] =\bruch{1}{x}*x+\integral_{}^{}{\bruch{1}{x²}*x dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}=1+\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} |-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
0=1
Dies ist ein Widerspruch, wo ist der Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Di 04.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Fehler liegt an dem Integral ohne jede Grenze, das man manchmal leichtsinnig hinschreibt.
setz Grenzen von a bis x dann wird die 1 auch zur 0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Owen |
Das verstehe ich nicht ganz. Wenn ich beispielsweise die Grenzen 1 und 2 einsetze, dann bekomme ich für das Integral ca. 0,69 heraus. Addiere ich auf der einen Seite noch die 1 dazu, dann habe ich doch 1,69 oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn man von dem bestimmten Integral mit den Grenzen absieht: Ein unbestimmtes Integral hat immer noch eine additive Konstante hinten dran. Die fehlt bei dir!
0=1+C müsste da stehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Owen |
ja stimmt, das könnte es sein, ich probiere es mal so. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
damit mal klar wird, was hier gemeint ist:
Strengenommen zeigt Deine Rechnung nur folgendes:
[mm] $\int \frac{1}{x}dx$ [/mm] und [mm] $\int \frac{1}{x}dx+1$ [/mm] sind beides Stammfunktionen der Funktion $t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$.
[/mm]
Das wollte Leduart Dir mitteilen, als er schrieb, dass das Problem darin besteht, dass Du unbestimmte Integrale berechnest.
Denn wenn Du eine Funktion $f$ hast, für die eine Stammfunktion existiert (das gilt z.B. für stetiges $f$), und Du zudem eine Funktion $F$ gefunden hast mit $F'=f$, so ist auch jede Funktion $H$ mit $H(x) [mm] :\equiv [/mm] F(x)+C$ mit einer Konstanten $C$ eine weitere Stammfunktion für $f$.
Also entweder musst Du Dir klar machen, dass Du oben quasi einfach nur rechterhand zeigst, dass wenn Du eine Stammfunktion $F$ für $f: t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$ [/mm] gefunden hast, dann auch $x [mm] \mapsto [/mm] F(x)+1$ eine Stammfunktion für $f$ ist (was relativ klar ist). Bzw. wenn man es anders ausdrücken will:
Du hast oben einfach nur gezeigt, dass neben [mm] $F:=\int \frac{1}{t}dt$ [/mm] (wobei man hier eigentlich meint: $F$ ist ein Repräsentant der Menge aller Stammfunktionen von $f: t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$, [/mm] d.h. es gilt $F'=f$) auch die Funktion $H$ mit [mm] $H(x):\equiv [/mm] F(x)+1$ ein Repräsentant der Klasse aller Stammfunktionen von $f$ ist (was übrigens ziemlich trivial ist, weil eine jede Stammfunktion eben nur bis auf eine additive Konstante von einer anderen verschieden ist).
In diesem Sinne könnte man dann schreiben, dass gilt:
[mm] $\int \frac{1}{t}dt=F$ [/mm] und [mm] $\int \frac{1}{t}dt=H$
[/mm]
obwohl dann $F [mm] \not=H$. [/mm] Die Notation [mm] $F=\int \frac{1}{t}dt$ [/mm] bedeutet dann oben eben nichts anderes, als dass $F'(x) [mm] \equiv \frac{1}{x}$, [/mm] und die Notation [mm] $H=\int \frac{1}{t}dt$ [/mm] bedeutet nichts anderes, als dass $H'(x) [mm] \equiv \frac{1}{x}$, [/mm] und leider sind Stammfunktionen eben nicht eindeutig (sondern nur eindeutig bis auf eine additive Konstante!). Aber: Eine jede repräsentiert die Klasse aller Stammfunktionen.
(Ähnliches kennst Du übrigens schon, wenn Du Dir mal die rationalen Zahlen anguckst und dann klar machst: [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] repräsentiert die Menge aller Brüche [mm] $\frac{z}{2z}$ [/mm] mit $z [mm] \in \IZ \backslash \{0\}$ [/mm] etc..)
Und wenn Du das vermeiden willst, dann musst Du halt Konstanten mit ins Spiel bringen und dann eben mit den konkreten Repräsentanten rechnen:
Für [mm] $1(x):\equiv [/mm] 1$ schreibst Du dann, dass [mm] $g(x):\equiv x+C_1$ [/mm] mit einer Konstanten [mm] $C_1$ [/mm] eine Stammfunktion ist etc.
Warum diese Konstanten bei "Deiner" Variante verlorengehen, es aber trotzdem - wenn man es richtig zu interpretieren weiß, nicht falsch ist und keineswegs $1=0$ impliziert - habe ich Dir oben versucht, klarzumachen. Nichtsdestotrotz erkennst Du es auch an Leduarts Hinweis:
Nehmen wir an, Du hättest $F$ gefunden mit $F'=f$, wobei $f: t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$. [/mm] Dann gilt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung für $a > 0$ und $x > 0$:
[mm] $\int_a^x {\frac{1}{t}dt}=F(x)-F(a)$
[/mm]
(beachte: $t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$ [/mm] ist stetig auf [mm] $I_{[a,x]}:=\begin{cases} [a,x], & \mbox{für } x \ge a \\ [x,a], & \mbox{für } a \ge x \end{cases}$ [/mm] ).
Es gilt aber auch für [mm] $H(x):\equiv [/mm] F(x)+1$, weil $H$ auch eine Stammfunktion für $f$ ist (da $H'(x) [mm] \equiv [/mm] F'(x)+1'(x)=F'(x)+0=f(x)+0=f(x)$, also $H'(x) [mm] \equiv [/mm] f(x)$):
[mm] $\int_a^x{\frac{1}{t}dt}=H(x)-H(a)=F(x)+1-(F(a)+1)=F(x)-F(a)$
[/mm]
P.S.:
Übrigens kannst Du das ganze auch analog so rechnen:
Für $x,a > 0$ existiert [mm] $\int_a^x {\frac{1}{t}dt}$.
[/mm]
Nun berechnest Du einfach, wenn [mm] $f(x):=\frac{1}{x}$ [/mm] für $x > 0$ dann:
[mm] $F_a(x):=\int_a^{x}{\frac{1}{t}dt}$ [/mm] mittels partieller Integration. Wenn Du das ganze so notierst, so wäre der Ansatz für eine spezielle Stammfunktion eben, wenn man hier partielle Integration versucht:
[mm] $\int_a^x {\frac{1}{t}dt}=\left[t*\frac{1}{t}\right]_{a}^x-\int_{a}^x{t*\left(-\frac{1}{t2}\right)dt} =[1]_{a}^x+\int_a^x{\frac{1}{t}dt}=[1-1]+\int_a^x{\frac{1}{t}dt}=\int_a^x{\frac{1}{t}dt}$
[/mm]
Leider steht hier dann "quasi" nur $0=0$, also die p.I. ist hier nicht zielführend!
Aber das wäre der "übliche" Ansatz zur Bestimmung einer Stammfunktion. Dass man damit alle hat, ergibt sich eben daraus, dass zwei Stammfunktionen einer Funktion sich eben nur bis auf eine additive Konstante unterscheiden.
Damit Dir das mit der Konstanten nochmal klar wird:
Für [mm] $r(x):\equiv [/mm] 1$ ist eben nicht nur [mm] $s(x):\equiv [/mm] x$ eine Stammfunktion von $r$, sondern auch $t(x) [mm] :\equiv [/mm] x+1$. Nichtsdestotrotz gilt aber $s(x) [mm] \not \equiv [/mm] t(x)$, obwohl $s'(x) [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \equiv [/mm] t'(x)$
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Owen |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, jetzt wird mir Einiges klar.
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