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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 10.06.2009 | | Autor: | milox |
| Aufgabe | | Die durch den Kreis x²+z²= 2 und die Parabel z=x² begrenzte Fläche erzeugt bei Drehung um die z-Achse einen Rotationkörper, dessen Volumen V zu bestimmen ist. |
Also diese Aufgabe wird mittels eines Dreifachintegrales gelöst. Ich habe zu meiner Aufgabe auch die Lösungen und bin bis zur 2. Integration gekommen.
Die Funktion sieht nun wie folgt aus
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{r*\wurzel{2-r^{2}}-r^{3} drd\varphi } [/mm]
Nun komme ich nicht mehr weiter.
Ich habe die partielle Integration angewandt aber durch das r² würde ich als Korrekturfaktor [mm] -\bruch{1}{2r} [/mm] erhalten. Das ist dann nicht möglich und mit Substition kommen nichts raus was auch nur der Lösung ähnlich aussieht.
Partielle Integration:
[mm] \integral_{}^{}{u(r)*v^{'}(r)}=r*\wurzel{2-r^{2}}
[/mm]
Hab für u(r) = r gewählt und für [mm] v^{'}(r) [/mm] die Wurzelfunktion.
r abgeleitet ist 1...das macht mir keine Probleme.
v(r) dagegen aufzuleiten schon:
v(r)= [mm] \bruch{2}{3}*(2-r^{2})^{\bruch{3}{2}}* -\bruch{1}{2r}
[/mm]
Wenn ich das aber ableite, dann muss ich die Produktregel anwenden.
Lösung dieser Ableitung ist:
[mm] -\bruch{1}{3}\wurzel{(2-r^{2})^{3}}
[/mm]
Komme einfach nicht weiter.
Bitte um Hilfe.
MFG
milox
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Warum integrierst du nicht mit Substitution? [mm]r \cdot \sqrt{2-r^2}[/mm] lädt ja geradezu ein, [mm]u = 2 - r^2[/mm] zu substituieren.
Im übrigen irritiert mich immer wieder, warum man sich auf der Universität dümmer stellen muß, als man ist. Immerhin mußte man solche Aufgaben schon in der Schule lösen. Macht man beim Niveau [mm]z[/mm] senkrecht zur [mm]z[/mm]-Achse einen Schnitt durch den Körper, so ist die Schnittfläche ein Kreis vom Flächeninhalt
[mm]A(z) = \begin{cases} \pi z & \mbox{für} \ 0 \leq z \leq 1 \\ \pi (2 - z^2) & \mbox{für} \ 1 \leq z \leq \sqrt{2} \end{cases}[/mm]
Die Radien sind ja gerade die zu den [mm]z[/mm]-Werten gehörigen [mm]x[/mm]-Werte.
Und jetzt bekommt man das Volumen [mm]V[/mm] sofort durch
[mm]V = \int_0^{\sqrt{2}} A(z)~\mathrm{d}z[/mm]
Fertig.
Und noch etwas, auch wenn es nur eine Kleinigkeit ist: Zwischen Integrand und Differential besteht eine wenn auch nur formale Multiplikation. Also sind Integranden, die Summen sind, einzuklammern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mi 10.06.2009 | | Autor: | milox |
Nach näherem betrachten habe ich erkannt, dass ich ganz falsch substituiert habe. Aufgabe wurde gelöst.
Wenn ich mal einen Tipp geben darf:
Beantworten Sie doch einfach die Frage ohne persönliche( oder dumme) Kommentare hinzuzufügen, die einen überhaupt nicht interessieren.
Und wenn das nicht machbar ist, dann lassen Sie die Hilfe ganz.
Vllt. gibt es mal auch einen schlechten Tag und man
sieht eben den Lösungsansatz..sei er noch so einfach, oder man
hat den Ansatz aber rechnet falsch.
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