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| Aufgabe | Berechnen Sie das uneigentliche Integral:
[mm] F(x)\,=\,\int 3\,\cdot\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,\mathrm{d}x [/mm] |
Hallo.
An der berschriebenen Aufgabe hänge ich leider gerade etwas.
Mein Lösungsweg bisher:
[mm] 3\integral{sin(2x)*cos(x)}=3\integral{u'*v}=(u-v\integral{u*v'})*3
[/mm]
Nach den Additionstheoremen gilt:
sin(2x)=sin(x+x)=2*sin(x)*cos(x)
Also kann ich schreiben:
[mm] 3\integral{2sin(x)*cos(x)*cos(x)}=3\integral{2sin(x)*cos^2(x)}
[/mm]
[mm] =6\integral{sin(x)*cos^2(x)}
[/mm]
Ist das vom Ansatz so bisher richtig?
Wenn ich die 2x in der Verkettung lasse so bieten sich zwei Möglichkeiten bei denen, ich dass folgende hintere Integral erhalte:
Ausgangsintegral:
[mm] \integral{sin(2x)*cos(x)dx}=......-\integral{u'*v}
[/mm]
[mm] 1.-\integral{2cos(2x)*cos(x)dx}
[/mm]
[mm] 2.-\integral{sin(2x)*sin(x)dx}
[/mm]
Spätestens hier müsste ich dann die Additionstheoreme anwenden.
[mm] 1.-\integral{2(cos^2(x)-sin^2(x))*cos(x)dx}=-\integral{2*(cos^3(x)-sin^2(x)*cos(x))} [/mm] Hier hätte ich das Integral ja unnötig erschwert. Scheint also falsch zu sein.
2. [mm] -\integral{2cos(x)*sin(x)*sin(x)dx)}=-\integral{2cos(x)*sin^2(x)}.
[/mm]
Dieses Integral scheint etwas einfacher zu sein. Das Integral müsste man jedoch wieder per partitieller Integration auflösen und ich würde auf einen schweren Ausdruck kommen.
Ich weiß nicht, aber heute scheint echt der Wurm drin zu sein.
Irgendwas mache ich falsch.
Habt ihr einen Tip? Habe ich etwas übersehen, missachtet?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masseltof!
> Also kann ich schreiben:
>
> [mm]3\integral{2sin(x)*cos(x)*cos(x)}=3\integral{2sin(x)*cos^2(x)}[/mm] [mm]=6\integral{sin(x)*cos^2(x)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun Substitution: [mm]u \ := \ \cos(x)[/mm] .
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | b)Fügen Sie die entsprechenden Vorfaktoren ein:
[mm] F(x)\,=\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\sin{(x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,c\,, [/mm] |
Hallo und danke für den Hinweis.
Also u:cos(x).
u=cos(x)
[mm] \bruch{du}{dx}=sin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{du}{sin(x)}=dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow 6*\integral{sin(x)*\bruch{du}{sin(x)}*u^2}
[/mm]
[mm] =6*\integral{u^2}
[/mm]
[mm] =6*\bruch{1}{3}u^3
[/mm]
[mm] =2*cos^3(x)
[/mm]
Nun steht jedoch noch b) als Frage dort.
D.h das ich nun einen anderen Lösungsweg finden muss.
Meine Vermutung ist folgende:
Gegeben ist die Lösung ohen Vorfaktoren:
[mm] \,\sin{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\sin{(x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,c\,,
[/mm]
Der erste Term lautet sin(2x)*sin(x).
Möglicherweise ist die partielle Integration also so verlaufen:
[mm] \integral{sin(2x)*cos(x)} [/mm] mit sin(2x)=u und cos(x)=v'
D.h [mm] \integral{sin(2x)*cos(x)}=sin(2x)*sin(x)-\integral{2*cos(2x)*cos(x)}
[/mm]
Das Integral wieder mit partieller Integration bearbeiten:
[mm] 2\integral{cos(2x)*cos(x)}=sin(x)*cos(2x)-\integral{-2sin(2x)*sin(x)}
[/mm]
Dieses Integral wiederum lösen:
[mm] 2\integral{-sin(2x)*sin(x)}=-sin(2x)*cos(x)-\integral{-2cos(2x)*cos(x)}
[/mm]
Wiederrum lösen...
[mm] 2\integral{-cos{2x}*cos(x)}=-cos(2x)*sin(x)-\integral{2sin(2x)*sin(x)}
[/mm]
Oder scheinbar doch nicht?
Habt ihr irgendwelche Ideen?
Viele Grüße und danke für die Geduld
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Hallo Masseltof,
> b)Fügen Sie die entsprechenden Vorfaktoren ein:
>
> [mm]F(x)\,=\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\sin{(x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,c\,,[/mm]
> Hallo und danke für den Hinweis.
>
> Also u:cos(x).
>
> u=cos(x)
> [mm]\bruch{du}{dx}=sin(x)[/mm]
Nana, es ist doch [mm]\frac{d}{dx}\cos(x)=\red{-}\sin(x)[/mm]
> [mm]\bruch{du}{sin(x)}=dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 6*\integral{sin(x)*\bruch{du}{sin(x)}*u^2}[/mm]
>
> [mm]=6*\integral{u^2}[/mm]
> [mm]=6*\bruch{1}{3}u^3[/mm]
> [mm]=2*cos^3(x)[/mm]
Das stimmt bis auf's Vorzeichen!
Gruß
schachuzipus
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Hallo Masseltof,
> b)Fügen Sie die entsprechenden Vorfaktoren ein:
>
> [mm]F(x)\,=\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\sin{(x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,c\,,[/mm]
> Hallo und danke für den Hinweis.
>
>
> Nun steht jedoch noch b) als Frage dort.
> D.h das ich nun einen anderen Lösungsweg finden muss.
>
> Meine Vermutung ist folgende:
>
> Gegeben ist die Lösung ohen Vorfaktoren:
>
> [mm]\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\sin{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\sin{(x)}\,+\,\,\cos{(2x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,\,\sin{(x)}\,\cdot\,\cos{(x)}\,+\,c\,,[/mm]
>
> Der erste Term lautet sin(2x)*sin(x).
> Möglicherweise ist die partielle Integration also so
> verlaufen:
> [mm]\integral{sin(2x)*cos(x)}[/mm] mit sin(2x)=u und cos(x)=v'
>
> D.h
> [mm]\integral{sin(2x)*cos(x)}=sin(2x)*sin(x)-\integral{2*cos(2x)*cos(x)}[/mm]
>
> Das Integral wieder mit partieller Integration bearbeiten:
>
> [mm]2\integral{cos(2x)*cos(x)}=sin(x)*cos(2x)-\integral{-2sin(2x)*sin(x)}[/mm]
>
> Dieses Integral wiederum lösen:
>
> [mm]2\integral{-sin(2x)*sin(x)}=-sin(2x)*cos(x)-\integral{-2cos(2x)*cos(x)}[/mm]
>
> Wiederrum lösen...
>
> [mm]2\integral{-cos{2x}*cos(x)}=-cos(2x)*sin(x)-\integral{2sin(2x)*sin(x)}[/mm]
>
> Oder scheinbar doch nicht?
>
> Habt ihr irgendwelche Ideen?
Setzt hier an mit:
[mm] \alpha*sin(x)*sin(2*x)+\beta*cos(x)*sin(2*x)+\gamma*sin(x)*cos(2*x)+\delta*cos(x)*cos(2*x)+\epsilon*cos(x)*sin(x)+c[/mm]
Differenzie dies nun.
Und vergleiche dies mit [mm]3*\sin\left(2x\right)*\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Viele Grüße und danke für die Geduld
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke vielmals für die Antwort.
Viele Grüße
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