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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Integrieren Sie folgende Funktion:
[mm] \integral_{0}^{2}{\wurzel{x}*(x-1) } [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde,
die oben aufgeführte Funktion ist ein Produkt und damit muss ich doch die Partielle Integration benutzen oder?
Ich habe es versucht, komme aber nicht so ganz auf das Ergebnis:
[mm] \wurzel{x}*(x-1) [/mm] - [mm] \integral{(\wurzel{x})'*(x-1) }
[/mm]
= [mm] \wurzel{x}*(x-1) [/mm] - [mm] \integral{\bruch{1}{2}x^{- \bruch{1}{2}}*(x-1) }
[/mm]
= [mm] \wurzel{x}*(x-1) [/mm] - [mm] \integral{\bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}x^{- \bruch{1}{2}}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x}*(x-1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x^{\bruch{3}{2}}-x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] x^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] x^{\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{3}x^{\bruch{3}{2}}-x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}-2x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Danke im voraus! :)
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> Integrieren Sie folgende Funktion:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{\wurzel{x}*(x-1) }\red{dx}[/mm]
Hallo Fatih,
hier brauchst du es gar nicht so kompliziert machen, sonder klammer einfach aus
[mm] \wurzel{x}(x-1)=x^{3/2}-\sqrt{x}
[/mm]
und integriere die Summanden einzeln nach elementaren Integrationsregeln.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Das geht natürlich auch, aber ich wollte unbedingt die Partielle Induktion üben, aber irgendwas ist schief gelaufen :D
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Fatih17,
> Das geht natürlich auch, aber ich wollte unbedingt die
> Partielle Induktion üben, aber irgendwas ist schief
> gelaufen :D
Da ist es leider im ersten Schritt schon falsch gelaufen.
Es ist doch $\int{u'v}=uv-\int{uv'}$
Du hast $u'=(x-1)$ gesetzt und $v=\sqrt{x}$
Das gibt aber $\left(\frac{1}{2}x^2-x\right)\cdot{}\sqrt{x}-\int{\left(\frac{1}{2}x^2-x}\cdot{}\left[\sqrt{x}\right] \ dx}$ ...
Viel einfacher ist es aber, wenn du die Rollen von u und v vertauscht, denn dann musst du nachher im Integral die Ableitung von $(x-1)$ dranmultiplizieren, und die ist ja netterweise 1
Also geh's nochmal an!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Ich habs nach folgendem Beispiel gemacht:
![[]](/images/popup.gif) Hier
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Hallo nochmal,
> Ich habs nach folgendem Beispiel gemacht:
>
> Hier
Ja, der Holzkopf hat verschwiegen, dass in der Formel [mm]\int{f(x) \ dx}=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}[/mm]
das [mm]f(x)[/mm] von der Form [mm]f(x)=u(x)\cdot{}v'(x)[/mm] ist.
Das geht erst implizit aus dem ersten Bsp., das er da präsentiert, hervor.
In deinem Falle ist [mm]f(x)=\sqrt{x}\cdot{}(x-1)[/mm]
Probiere hier beide Wege:
1) Setze: [mm]u(x)=\sqrt{x}[/mm] und [mm]v'(x)=x-1[/mm]
2) Setze: [mm]u(x)=x-1[/mm] und [mm]v'(x)=\sqrt{x}[/mm]
Finde heraus, welcher Weg "einfacher" ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Also jetzt bin ich ziemlich durcheinander :(
Auf der Seite steht ganz oben ja die Hauptformel!
So und nun ist doch:
u(x)= [mm] \wurzel{x}
[/mm]
u'(x)= [mm] (\wurzel{x})'
[/mm]
n(x)= (x-1)
n(x) brauchen wir ja nicht abzuleiten.
So und wenn man alles zusammensetzt hat man doch das was ich am Anfang hatte, oder?
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Hallo,
> Also jetzt bin ich ziemlich durcheinander :(
>
> Auf der Seite steht ganz oben ja die Hauptformel!
Ja, aber wie ...
>
> So und nun ist doch:
>
> u(x)= [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> u'(x)= [mm](\wurzel{x})'[/mm]
>
> n(x)= (x-1)
>
> n(x) brauchen wir ja nicht abzuleiten.
Das ist falsch!
Die Formel gilt in der Form wie sie dasteht für [mm]f(x)=u(x)\cdot{}v'(x)[/mm]
>
> So und wenn man alles zusammensetzt hat man doch das was
> ich am Anfang hatte, oder?
Ja, wenn das unklar vermittelt wird, kann es nur schieflaufen ...
Hast du kein Mathebuch, wo du die Formel nachschlagen kannst?
Schau mal: du kennst die Produktregel:
[mm](u(x)\cdot{}v(x))'=u'(x)\cdot{}v(x)+u(x)\cdot{}v'(x)[/mm]
Das etwas umstellen:
[mm]u(x)\cdot{}v'(x)=(u(x)\cdot{}v(x))'-u'(x)\cdot{}v(x)[/mm]
Beiderseits integrieren:
[mm]\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}=\int{(u(x)\cdot{}v(x))' \ dx} \ - \ \int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}[/mm]
Also [mm]\int{\underbrace{u(x)\cdot{}v'(x)}_{=f(x) \ \text{in dem Video}} \ dx} \ = \ u(x)\cdot{}v(x)-\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}[/mm]
Ich hoffe, aus der Herleitung der Formel wird klar, wo der Hase im Pfeffer liegt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Hmm, also entweder habe ich heute zu viel gelernt oder ich begreife es einfach nicht.
Kann mir einer bitte das Beispiel anhand dieser Aufgabe verdeutlichen, dafür wäre ich echt dankbar!
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Hallo nochmal,
> Hmm, also entweder habe ich heute zu viel gelernt oder ich
> begreife es einfach nicht.
>
> Kann mir einer bitte das Beispiel anhand dieser Aufgabe
> verdeutlichen, dafür wäre ich echt dankbar!
ok, zu berechnen ist [mm]\int{\underbrace{\sqrt{x}}_{=v'(x)}\cdot{}\underbrace{(x-1)}_{=u(x)} \ dx}[/mm]
Damit ist [mm]v(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}[/mm] und [mm]u'(x)=1[/mm]
Gem. Formel ist [mm]\int{f(x) \ dx}=\int{u(x)v'(x) \ dx}=u(x)v(x)-\int{u'(x)v(x) \ dx}[/mm]
Eingesetzt:
[mm]\int{(x-1)\sqrt{x} \ dx}=(x-1)\cdot{}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\int{1\cdot{}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ dx}[/mm]
[mm]=\frac{2}{3}\cdot{}(x-1)\cdot{}x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\int{x^{\frac{3}{2}} \ dx}[/mm]
[mm]=\frac{2}{3}\cdot{}(x-1)\cdot{}x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\cdot{}\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}[/mm]
Den kleinen Rest der Vereinfachung überlasse ich dir!
Aber du siehst: Kamaleontis Tipp, zunächst ausumultiplizieren führt wesentlich bequemer zum Ziel ...
Gruß
schachuzipus
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