Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mi 15.02.2012 | | Autor: | SiFER |
| Aufgabe | | Partielle Integration von [mm] \integral_{1}^{3}{x²*e^x dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
f(x) = x² f'(x) = 2x
g(x) = [mm] e^x [/mm] g'(x) = [mm] e^x
[/mm]
Partielle Integration: fg'=fg- [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f'g (1)
x² [mm] *e^x [/mm] = [mm] x²*e^x [/mm] - [mm] \integral_{1}^{3} [/mm] 2x [mm] e^x [/mm] | einsetzen
-> rot markierter Bereich erneute partielle Integration:
f2(x) = 2x f2'(x) = 2
g2(x) = [mm] e^x [/mm] g2'(x) = [mm] e^x
[/mm]
x² [mm] *e^x [/mm] = x² [mm] e^x [/mm] - [mm] \integral_{1}^{3} [/mm] [mm] (2x*e^x [/mm] - [mm] \integral_{1}^{3} 2*e^x [/mm] ) | einsetzen der neuen Parameter
-> grüner Bereich neue Integration (1)
Nächster Schritt ?
???
Stammfunktion bilden ? f'(x)= [mm] (n+1)x^n
[/mm]
f(b)-f(a) | obere - untere Grenze
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Hallo SiFER,
> Partielle Integration von [mm]\integral_{1}^{3}{x²*e^x dx}[/mm]
>
Schreibe die Zahl 2 als Exponenten nicht mit der alternativen
Tastenbelegung der Taste 2, sondern so: x^{2}
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> f(x) = x² f'(x) = 2x
> g(x) = [mm]e^x[/mm] g'(x) = [mm]e^x[/mm]
>
> Partielle Integration: fg'=fg- [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] f'g
> (1)
>
> x² [mm]*e^x[/mm] = [mm]x²*e^x[/mm] - [mm]\integral_{1}^{3}[/mm] 2x [mm]e^x[/mm] |
> einsetzen
>
Besser so:
[mm]\integral_{1}^{3}{x^{2}*e^{x} \ dx}=\left{ x^{2}*e^x}\right|_{1}^{3}-\integral_{1}^{3} \red{2x e^{x}} \ dx[/mm]
> -> rot markierter Bereich erneute partielle Integration:
>
> f2(x) = 2x f2'(x) = 2
> g2(x) = [mm]e^x[/mm] g2'(x) = [mm]e^x[/mm]
>
> x² [mm]*e^x[/mm] = x² [mm]e^x[/mm] - [mm]\integral_{1}^{3}[/mm] [mm](2x*e^x[/mm] -
> [mm]\integral_{1}^{3} 2*e^x[/mm] ) | einsetzen der neuen
> Parameter
>
Hier Klammern setzen:
[mm]\integral_{1}^{3}{x^{2}*e^{x} \ dx}=\left{ x^{2}*e^x}\right|_{1}^{3}-\left( \left {2x*e^{x}}\right|_{1}^{3}-\integral_{1}^{3}{\green{2*e^{x}} \ dx} \right)[/mm]
> -> grüner Bereich neue Integration (1)
>
>
> Nächster Schritt ?
>
Berechnung von [mm]\integral_{1}^{3}{\green{2*e^{x}} \ dx}[/mm]
> ???
>
>
> Stammfunktion bilden ? f'(x)= [mm](n+1)x^n[/mm]
>
>
> f(b)-f(a) | obere - untere Grenze
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mi 15.02.2012 | | Autor: | SiFER |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \integral_{1}^{3}{x^{2}\cdot{}e^{x} \ dx}=\left{ x^{2}\cdot{}e^x}\right|_{1}^{3}-\left( \left {2x\cdot{}e^{x}}\right|_{1}^{3}-\integral_{1}^{3}{\green{2\cdot{}e^{x}} \ dx} \right) $
$ \integral_{1}^{3}{\green{2\cdot{}e^{x}} \ dx} $
=> (2-e^3) - (2-e^1) = -17,37
hm ? wie gehts weiter ? :s
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> [mm]\integral_{1}^{3}{x^{2}\cdot{}e^{x} \ dx}=\left{ x^{2}\cdot{}e^x}\right|_{1}^{3}-\left( \left {2x\cdot{}e^{x}}\right|_{1}^{3}-\integral_{1}^{3}{\green{2\cdot{}e^{x}} \ dx} \right)[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{\green{2\cdot{}e^{x}} \ dx}[/mm]
>
> => [mm](2-e^3)[/mm] - [mm](2-e^1)[/mm] = -17,37
>
> hm ? wie gehts weiter ? :s
Hm, da die e-fkt immer größer Null ist, macht es schon Sinn dass das Integral über einen Bereich kleiner Null ist.
Das kann natürlich nicht sein.
Du hast die e-fkt falsch integriert.
Die e-fkt inegriert ergibt wieder die e-fkt.
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Do 16.02.2012 | | Autor: | SiFER |
Verstehe ich nicht, was ist falsch und wie geht es weiter zur Lösung.
Analysis ist nicht meine Stärke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Do 16.02.2012 | | Autor: | SiFER |
Was ist falsch ?
Muss ich wieder partielle Integration anwenden ? Und was danach ?
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[mm] \integral_{1}^{3}{x*e^x dx}=x*e^x-\integral_{1}^{3}{1*e^x dx}=(x*e^x)-(e^x)=40,171...
[/mm]
Grenzen sind natürlich einzusetzen und in diesen Rechenschritten an zu schreiben (bei [mm] x*e^x).
[/mm]
ganz einfach nach der Formel für Partielle integration.. http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration
in deinem fall:
v:=x --> v'=1
[mm] u:=e^x [/mm] --> [mm] u'=e^x
[/mm]
für [mm] \integral_{1}^{3}{x^2*e^x dx} [/mm] musst du einfach analog eine 2. partielle Integration durchführen. Ergebnis wäre rund 97,71.
Wenn du mit partieller Integration nicht sehr viel Erfahrung hast, rate ich dir bei diesem noch einfachem Beispiel Stur die Regel an zu wenden.
ich Zeige dir mal den allgemeinen weg für diese Bsp ohne Grenzen:
[mm] \integral{x^2*e^x dx}=e^x*x^2-2\integral{x*e^x dx}
[/mm]
soweit solltest du es auf jeden Fall schaffen.
Nun haben wir genau das Selbe Problem beim 2. Integral wie zu beginn -> also analoge Lösungsmethode:
Wir wissen dass [mm] \integral{x*e^x dx}=x*e^x-\integral{e^x dx}=x*e^x-e^x
[/mm]
Weiters haben wir ja schon
[mm] \integral{x^2*e^x dx}=e^x*x^2-2\integral{x*e^x dx}
[/mm]
Also was tun wir nun ? --> einfaches Einsetzen
[mm] \integral{x^2*e^x dx}=e^x*x^2-2\integral{x*e^x dx}=e^x*x^2-2(x*e^x-e^x)=e^x(x^2-2x+2)+C
[/mm]
Die Grenzen überlasse ich nun dir ;)
LG Scherzkrapferl
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