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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 04.07.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
ich bin's mal wieder.  Man soll unter Verwendung von partieller Integration das Integral
[mm]\int{cos^2xdx}[/mm]
loesen. Das habe ich jetzt auch schon auf verschiedene Arten probiert, aber ich komme einfach nicht auf das angegebene Ergebnis
[mm]\frac{1}{2}(cosxsinx+x)+C[/mm].
Ich habe z.B. versucht [mm]u = cosx[/mm] und [mm]v' = cosx[/mm] zu setzen und das erhaltene Integral nochmals mittels partieller Integration zu vereinfachen ([mm]u = -sinx[/mm] und [mm]v'=sinx[/mm]). Dabei komme ich schliesslich auf
[mm]I = -2*cosx*sinx + I[/mm]
wobei [mm]I[/mm] das urspruengliche Integral darstellt. Aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter. Wie gesagt, ich habe noch andere Varianten probiert (auch mit Substituieren), aber ich komme einfach nicht auf die Loesung.
Kann mir jemand den entscheidenden Tipp geben?
Danke, Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 19.03.2008 | | Autor: | screwd |
Hey Michael,
TIPP: ersetze [mm] (sinx)^2 [/mm] durch [mm] 1-(cosx)^2 [/mm] und dann nur noch auflösen
LÖSUNG:
wenn du das erse mal die partielle integration durchführst hast du doch
cosxsinx - [mm] ∫(sinx)^2
[/mm]
[mm] (sinx)^2 [/mm] musst du umformen undzwar in [mm] 1^2 [/mm] - [mm] (cosx)^2 [/mm] (vgl einheitskreis :
[mm] 1^2 [/mm] = [mm] (sinx)^2 [/mm] + [mm] (cosx)^2 [/mm] (pytharoas).
und damit bekommst du dann den [mm] (sinx)^2 [/mm] weg. dann hast du also :
[mm] ∫(cosx)^2 [/mm] = cosxsinx - ∫(1 - [mm] (cosx)^2)
[/mm]
[mm] ∫(cosx)^2 [/mm] = cosxsinx - ∫1 - [mm] ∫(cosx)^2 [/mm] dann das [mm] (cosx)^2 [/mm] rüberbringen
[mm] 2∫(cosx)^2 [/mm] = cosxsinx - ∫1 :0.5
[mm] ∫(cosx)^2 [/mm] = 0.5*(cosxsinx - x) + C
liebe grüße
max
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:15 So 04.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Michael,
> [mm]I = -2*cosx*sinx + I[/mm]
>
> wobei [mm]I[/mm] das urspruengliche Integral darstellt. Aber das
> bringt mich auch nicht wirklich weiter. Wie gesagt, ich
> habe noch andere Varianten probiert (auch mit
> Substituieren), aber ich komme einfach nicht auf die
> Loesung.
>
> Kann mir jemand den entscheidenden Tipp geben?
Der entscheidene Tipp ist, dass du oben einen Vorzeichenfehler gemacht hast und auf der rechten Seite auf "-I" kommen müßtest. Dann kannst du die Gleichung nämlich nach I auflösen...
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 04.07.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Marc,
> > [mm]I = -2*cosx*sinx + I[/mm]
> >
> > wobei [mm]I[/mm] das urspruengliche Integral darstellt. Aber das
>
> Der entscheidene Tipp ist, dass du oben einen
> Vorzeichenfehler gemacht hast und auf der rechten Seite auf
> "-I" kommen müßtest. Dann kannst du die Gleichung nämlich
> nach I auflösen...
aber dann wuerde doch [mm]I = -cosx*sinx[/mm] rauskommen und nicht die angegebene Loesung, oder? Hier mal mein genauer Loesungsweg:
[mm]
\int{\cos^2 x dx}
u = \cos x, v' = \cos x\\
u' = -\sin x, v = \sin x
\int{\cos^2 x dx} = \cos x * \sin x - \int{-\sin x * \sin x dx}
u = -\sin x, v' = \sin x\\
u' = -\cos x, v = -\cos x
\int{-\sin x * \sin x dx} = -\sin x * (-\cos x) - \int{-\cos x * (-\cos x) dx} = \sin x * \cos x - \underbrace{\int{\cos^2 x dx}}_{I}
[/mm]
[mm]I = \cos x * \sin x - (\sin x * \cos x - I) = \cos x * \sin x - \cos x * \sin x + I = -2 * \cos x * \sin x + I
[/mm]
NACHTRAG: Dank Philipps Beitrag sehe ich gerade, dass das natuerlich [mm]I = 0+I[/mm] heissen muss. Sorry, da war ich wohl blind.
Aber anscheinend hab ich ein "Vorzeichenverstaendnisproblem", denn im Buch ist z.B. folgende Gleichung:
[mm]
I = e^x * \sin x - (-e^x * \cos x - \int{-e^x * \cos x dx}) = e^x * \sin x + e^x * \cos x + \int{e^x * \cos x dx} = e^x(\sin x + \cos x) - I
[/mm]
Wo ist im zweitletzten Schritt ploetzlich das Minuszeichen direkt nach dem Integralzeichen hin und wieso heisst es im letzten Schritt ploetzlich [mm]-I[/mm] und nicht [mm]+I[/mm]?
Viele Gruesse,
Michael
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Hi.
Zweimalige partielle Integration führt hier nur zu Aussagen der Form
I=0+I, das bringt dich nicht weiter (und offensichtlich hast du dich noch irgendwo verrechnet).
Nach der 1. partiellen Integration hast du ja ein neues Integral, nämlich das über [mm] $sin^2(x)$
[/mm]
Der Trick ist jetzt, hier den trigonometrischen Pythagoras anzuwenden, also [mm] $sin^2(x)+cos^2(x)=1$, [/mm] um wieder dein Ausgangsintegral erscheinen zu lassen, so dass du dann nach diesem auflösen kannst.
Schaffst du es mit diesem Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 So 04.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo michael7 und Philipp-ER!
Ich habe es jetzt mal nachgerechnet; da habe ich mich tatsächlich vertan, ich hatte es anders in Erinnerung.
Danke für den Hinweis!
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 So 04.07.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
> Nach der 1. partiellen Integration hast du ja ein neues
> Integral, nämlich das über [mm]sin^2(x)[/mm]
> Der Trick ist jetzt, hier den trigonometrischen Pythagoras
> anzuwenden, also [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/mm], um wieder dein
> Ausgangsintegral erscheinen zu lassen, so dass du dann nach
> diesem auflösen kannst.
> Schaffst du es mit diesem Tipp?
ja, danke! Im Internet bin ich noch auf die Gleichung [mm]\cos^2 x = \frac{1}{2}(1+\cos(2x))[/mm] gestossen, mit der man mittels Substitution die Aufgabe m.E. noch eleganter loesen kann. Wobei das streng genommen gegen die Aufgabenstellung verstoesst, die verlangt, dass man partielle Integration verwendet. Aber zur Not koennte man ja nach erfolgter partieller Integration [mm]\sin^2 x = \frac{1}{2}(1-\cos(2x))[/mm] ausnutzen.
Vielen Dank an euch beide!
Michael
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