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| Aufgabe | Berechnen Sie mit partieller Integration:
a) [mm] \integral e^{x}*(x+1)dx
[/mm]
b) [mm] \integral [/mm] x*sin(x)dx
c) [mm] \integral ln(x^{4})dx
[/mm]
d) [mm] \integral e^{x}*(x^{2}+1)dx
[/mm]
e) [mm] \integral cos^{2}(x) [/mm] dx
[mm] f)\integral_{0}^{1} x*e^{-x}dx
[/mm]
[mm] g)\integral_{0}^{\pi} \bruch{x}{2}*sin(x)dx [/mm] |
Hallo,
Sind meine beiden Ergebnisse bis jetzt richtig?
a)= [mm] e^{x}*(1/2x^2+x)-\integral e^{x}*(x+1)dx
[/mm]
= [mm] e^{x}*(1/2x^2+x)-e^{x}*(1/2x^2+x)
[/mm]
b)= x*cos(x)- [mm] \integral1*sin(x)
[/mm]
= x*cos(x)-x*(-cos(x))
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Hallo,
bitte derart viele Aufgaben in separaten threads posten ...
> Berechnen Sie mit partieller Integration:
>
> a) [mm]\integral e^{x}*(x+1)dx[/mm]
> b) [mm]\integral[/mm] x*sin(x)dx
> c) [mm]\integral ln(x^{4})dx[/mm]
> d) [mm]\integral e^{x}*(x^{2}+1)dx[/mm]
>
> e) [mm]\integral cos^{2}(x)[/mm] dx
> [mm]f)\integral_{0}^{1} x*e^{-x}dx[/mm]
> [mm]g)\integral_{0}^{\pi} \bruch{x}{2}*sin(x)dx[/mm]
>
> Hallo,
>
> Sind meine beiden Ergebnisse bis jetzt richtig?
> a)= [mm]e^{x}*(1/2x^2+x)-\integral e^{x}*(x+1)dx[/mm]
Nein, das müsste [mm]e^x\cdot{}(1/2x^2+x)-\int{e^x(1/2x^2+x) \dx}[/mm] lauten.
Vertausche mal lieber die Rollen von [mm]e^x[/mm] und [mm]x+1[/mm].
Du willst ja das verbleibende Integral möglichst einfach machen; du hast es verschlimmbessert 
> =
> [mm]e^{x}*(1/2x^2+x)-e^{x}*(1/2x^2+x)[/mm]
Das wäre 0 - kann das denn sein?
> b)= x*cos(x)- [mm]\integral1*sin(x)[/mm]
> = x*cos(x)-x*(-cos(x))
Nein, wieder Humbuk.
Du hast die Integrationsregel offenbar nicht verstanden:
[mm]\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx} \ = \ u(x)\cdot{}v(x)-\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}[/mm]
Du musst die Rollen der Faktoren so wählen, dass das verbleibende Integral möglichst einfach wird.
Wenn also x (oder wie in a) x+1) als Faktor im Ausgangsintegral steht, bietet es sich an, [mm]x=v(x)[/mm] (bzw. [mm]v(x)=x+1[/mm] in a)) zu versuchen ...
Probier's nochmal!
Gruß
schachuzipus
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ich habe bei a) jetzt folgendes raus:
= [mm] e^{x}*(x+1)-\integral e^{x}*1
[/mm]
= [mm] e^{x}*(x+a)-e^{x}*x+C
[/mm]
ist das richtig?
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Hallo nochmal,
> ich habe bei a) jetzt folgendes raus:
>
> = [mm]e^{x}*(x+1)-\integral e^{x}*1[/mm]
> = [mm]e^{x}*(x+a)-e^{x}*x+C[/mm]
>
> ist das richtig?
Nein, zum einen hast du dich mit dem a vertippt, das muss eine 1 sein, aber der eigentliche Fehler steckt in der Berechnung des Integrals [mm] $\int{e^x\cdot{}1 \ dx}$
[/mm]
Es ist doch [mm] $e^x\cdot{}1=e^x$, [/mm] also [mm] $\int{e^x\cdot{}1 \ dx}=\int{e^x \ dx}=e^x+C$
[/mm]
Damit ergibt sich ....?
Du kannst deine Ergebnisse auch jederzeit selber prüfen:
Leite wieder ab, dann sollte der Integrand herauskommen ...
Gruß
schachuzipus
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ich dachte, dass eine Stammfunktion von 1 immer x wäre...????
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Hallo,
> ich dachte, dass eine Stammfunktion von 1 immer x
> wäre...????
das hat nur leider mit der gegebenen Antwort überhaupt nichts zu tun. Du solltest dir dringend die Integrations- und sicherlich auch die Ableitungsregeln nocheinmal vornehmen. Deine Logik würde stimmen für
[mm] \int{(e^x+1) dx}
[/mm]
aber sicherlich nicht für
[mm] \int{e^x*1 dx}=\int{e^x dx}
[/mm]
Gruß, Diophant
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ja, klar. Das habe ich jetzt verstanden...:)
Zu b) da habe ich Folgendes raus: -x*cos(x)-sin(x)
das stimmt doch, oder?
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Hallo leasarfati,
> ja, klar. Das habe ich jetzt verstanden...:)
>
> Zu b) da habe ich Folgendes raus: -x*cos(x)-sin(x)
> das stimmt doch, oder?
Nicht ganz.
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]-x*\cos\left(x\right)\blue{+}\sin\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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okay, vielen Dank. bei c) habe ich folgendes raus:
= [mm] \bruch{1}{x}*x^4-\integral \bruch{1}{x}*4x^3
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x}*x^4-ln(x)*x^4
[/mm]
stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mo 09.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein!
1. bitte differenziere deine Ergebnisse!
2. zeig deinen Rechenweg, was ist u, was v' was u'. was v.
3. [mm] lnx^4=4*lnx
[/mm]
Gruß leduart
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u'(x)= ln
[mm] v(x)=x^4
[/mm]
[mm] =1/x*x^4-\integral 1/x*4x^3
[/mm]
[mm] =1/x*x^4-ln(x)*x^4
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mo 09.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur weil du bei [mm] ln(x^4) [/mm] die Klammern -wie manchmal üblich wegläßt steht da doch kein Produkt, und was soll u(x)=ln denn bedeuten? was du gemacht hast ist ziemlich sinnfrei
Gru0 leduart
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Also ich schreibe jetzt mal meinen Rechenweg auf und dann wäre es toll, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Fehler liegt:
u'(x)=ln
[mm] v(x)=x^4
[/mm]
[mm] =1/x*x^4-\integral 1/x*4x^3
[/mm]
[mm] =1/x*x^4-ln(x)*x^4+C
[/mm]
ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Also ich schreibe jetzt mal meinen Rechenweg auf und dann
> wäre es toll, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein
> Fehler liegt:
>
> u'(x)=ln
> [mm]v(x)=x^4[/mm]
>
> [mm]=1/x*x^4-\integral 1/x*4x^3[/mm]
> [mm]=1/x*x^4-ln(x)*x^4+C[/mm]
>
> ist das richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast bereits von reverend den besten Tipp dazu bekommen!
Mit [mm] \ln(x^4)=4\ln(x) [/mm] gilt:
[mm] \integral{\ln(x^4) dx}=4\integral{\ln(x)dx}=4\integral{\ln(x)*1dx}
[/mm]
Mit $u':=1$ und [mm] v:=\ln(x) [/mm] gilt nach partieller Integration?
Jetzt bist du dran!
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Das ist der "Trick" beim Natürlichen Logarithmus um das Integral durch partielle Integration zu erhalten.
Es gilt: [mm] \ln(x)=\ln(x)*1
[/mm]
DieAcht
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jetzt muss ich doch die partielle Integration auf das hier anwenden?:
[mm] 4\integral [/mm] ln(x)*1 dx oder? Aber wieso ist das Ganze nun vereinfacht? Hätte ich nicht auch mit der Ausgangsfunktion die partielle Integration anwenden können?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> jetzt muss ich doch die partielle Integration auf das hier
> anwenden?:
>
> [mm]4\integral[/mm] ln(x)*1 dx oder? Aber wieso ist das Ganze nun
> vereinfacht? Hätte ich nicht auch mit der Ausgangsfunktion
> die partielle Integration anwenden können?
reverend hat es dir bereits erklärt!
Nur weil wir "schlampigerweiße" keine Klammern setzen, heißt es nicht, dass folgendes gilt:
[mm] \ln x^4=\ln \cdot x^4 [/mm] (WAS AUCH IMMER DAS SEIN SOLL DAS IST FALSCH)
DieAcht
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jetzt bin ich total verwirrt; ich verstehe überhaupt nicht, wie man diese Aufgabe mit der Regel ausrechnet....:(( Kann mir das jemand nochmal genau erklären? (tut mir leid, wenn ich so blöd frage: Aber wer nicht fragt, bleibt dumm...)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Du sollst hier selbst auf eine Lösung kommen.
Da ich aber heute einen guten Tag habe zeige ich dir das.
[mm] \integral{\ln(x^4) dx}=4\integral{\ln(x)*1dx}=4(x\ln(x)-\integral{x*\frac{1}{x}dx})=\ldots
[/mm]
Zusammenfassen musst du selbst!
DieAcht
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ja, weil ich selber darauf kommen will, möchte ich gerne wissen, wieso man den "Term" überhaupt umformt. Wieso kann ich nicht gleich die partielle Integration anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Du brauchst für partielle Integration ein Produkt!
[mm] \ln(x^4) [/mm] - Wo siehst du hier ein Produkt der Form $u'(x)*v(x)$?
DieAcht
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ah, ich verstehe:) Dann habe ich ja, so wie du netterweise mir gezeigt hast:
[mm] 4(x*ln(x)-\integralx*1/x [/mm] dx)
Dabei ist doch ln(x)= u(x) und 1=v'(x) oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> ah, ich verstehe:) Dann habe ich ja, so wie du netterweise
> mir gezeigt hast:
> [mm]4(x*ln(x)-\integralx*1/x[/mm] dx)
Keine Ahnung was du hier meinst.
>
> Dabei ist doch ln(x)= u(x) und 1=v'(x) oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 09.12.2013 | | Autor: | leduart |
Haööp
warum differenzierst du deine Ergebnisse nicht? was hast du jetzt für a) raus?
gruss leduart
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für a) habe ich das raus:
[mm] =e^x*(x+1)-e^x+C
[/mm]
ich differenziere das, jedoch möchte ich hier nochmal prüfen, ob ich mich nicht doch verrechnet habe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 09.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, aber das sollte man zusammenfassen.
gruß leduart
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wie kann ich das zusammenfassen?
[mm] xe^x+e^x-e^x???
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> wie kann ich das zusammenfassen?
> [mm]xe^x+e^x-e^x???[/mm]
[mm] e^x-e^x=0
[/mm]
FRED
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aber bei dem ersten [mm] e^x [/mm] ist noch ein Malzeichen. Dann kann ich das doch nicht von dem anderen [mm] e^x [/mm] abziehen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 09.12.2013 | | Autor: | fred97 |
[mm] xe^x+e^x-e^x=xe^x+0
[/mm]
FRED
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bei d) habe ich folgendes raus:
[mm] u'(x)=e^x
[/mm]
[mm] v(x)=x^2+1
[/mm]
[mm] =e^x*(x^2+1)-\integral e^x*2x
[/mm]
[mm] =e^x*(x^2+1)-e^x*x^2
[/mm]
bei e) weiß ich nicht, wie ich da anfangen soll... Unser Lehrer meinte, wir sollen mit folgender "Formel" arbeiten: [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1
[/mm]
das verstehe ich aber nicht...:((
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bei f) habe ich folgendes gerechnet:
[mm] [1/2x^2*e^-x]oben [/mm] 1 unten 0 - [mm] \integral_{0}^{1} 1/2x^2*(-e^-x)dx
[/mm]
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> bei f) habe ich folgendes gerechnet:
>
> [mm][1/2x^2*e^-x]oben[/mm] 1 unten 0 - [mm]\integral_{0}^{1} 1/2x^2*(-e^-x)dx[/mm]
>
> ist das richtig?
Setze [mm] $u':=e^{-x}$ [/mm] und $v:=x$.
Schachu hat dir bereits erklärt auf was du Achten musst beim Setzen von $u'$ und $v$!
DieAcht
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das verstehe ich nicht. Wir haben von unserem Lehrer folgende Formel bekommen:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f(x)*g(x) dx= [F(x)*g(x)]oben b unten a - [mm] \integral_{a}^{b}F(x)*g'(x) [/mm] dx
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Vergiss die Integrationsgrenzen und rechne zu erst (richtig) das Integral [mm] \integral{x*e^{-x} dx} [/mm] aus!
DieAcht
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warum muss ich noch einmal partielle integration machen? für das [mm] e^x*(x^2+1)?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Das hier ist kein Chat-Programm!
Deine Aufgabe ist es partielle Integration durchzuführen!
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 09.12.2013 | | Autor: | leasarfati |
Tut mir leid, aber wenn ich das könnte, würde ich nicht hier um Hilfe bitten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Du hast gefragt, wieso du das mit partieller Integration machen musst. Das steht nun mal so in der Aufgabenstellung.
DieAcht
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