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Forum "stochastische Analysis" - Partielle stoch. Integration
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Partielle stoch. Integration: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:52 So 18.05.2014
Autor: Anjuta

Aufgabe
Berechne [mm] e^{-at} \integral_{0}^{t}{e^{-as} dW_s} [/mm]

Wie berechnet man dieses Integral? Man muss hier die partielle stoch Integration anwenden. Aber ich weiss nicht genau wie. Könnte mir bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Partielle stoch. Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mo 19.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du brauchst da gar nichts berechnen.

Was weißt du über Integrale bezüglich der Brownschen Bewegung mit deterministischen Integranden?

Gruß,
Gono.

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Partielle stoch. Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Mo 19.05.2014
Autor: Anjuta

Hallo Gono.
Was meinst du mit da ist nix zu berechnen. Das war eine Prüfungsfrage und ich bin ein bisschen verwirrt.
Dass [mm] W_s [/mm] eine brownsche bewegung ist weiß ich ja. Aber wie hilft mir das weiter?

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Partielle stoch. Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 19.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erstmal vorweg: Was meinst du denn mit "berechnen"?
Du kannst das Integral umformen, behälst dabei allerdings ein ds-Integral oder den Prozess untersuchen.

Was willst du denn machen?

Umformen kannst du recht leicht, wenn du die Itô-Formel auf die Funktion [mm] $f(t,W_t) [/mm] = [mm] e^{-\alpha t}W_t$ [/mm] anwendest.

Charakterisieren kannst du den Prozess mit meinem Hinweis.

Gruß,
Gono.


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Partielle stoch. Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:31 Di 20.05.2014
Autor: Anjuta

Danke. Hab das jetzt umgeformt. Weiß zwar nicht was das bringen soll.
Und wie genau kann ich den untersuchen/charakterisieren?

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Partielle stoch. Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Di 20.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Danke. Hab das jetzt umgeformt. Weiß zwar nicht was das bringen soll.

Genau das war ja meine Eingangsfrage :-)

> Und wie genau kann ich den untersuchen/charakterisieren?  

Darauf zielte meine erste Frage ab: Was weißt du über brownsche Integrale bezüglich deterministische Funktionen? Die sind ganz speziell verteilt.

Also ganz allgemein: Sei [mm] $X_t [/mm] = [mm] \int_0^t [/mm] f(s) [mm] dW_s$ [/mm] dann ist [mm] X_t [/mm] wie verteilt?

Gruß,
Gono.

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Partielle stoch. Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Di 20.05.2014
Autor: Anjuta

Dann müsste [mm] X_t [/mm] so viel ich weiß ein zentrierter Gauß-Prozess sein oder?
Lg Anjuta

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Partielle stoch. Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Di 20.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Dann müsste [mm]X_t[/mm] so viel ich weiß ein zentrierter Gauß-Prozess sein

[ok]
mit welcher Varianz?

Gruß,
Gono.

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Partielle stoch. Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Di 20.05.2014
Autor: Anjuta

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{t}{f(s)^2 ds} [/mm] oder??

Ist das dann die Varianz? ist also dann mein  ursprünglicher integral ein zentrierter Gauß-Prozess?
Ganz liebe Grüße


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Partielle stoch. Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Di 20.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\integral_{0}^{t}{f(s)^2 ds}[/mm] oder??

[ok]

> Ist das dann die Varianz?

Ja natürlich.

> ist also dann mein  ursprünglicher integral ein zentrierter Gauß-Prozess?

Ja.

Und mit den Umformungen, die du vorher gemacht hast, solltest du jetzt auch erkennen, was für ein Prozess das Integral [mm] $\int_0^t W_s [/mm] ds$ ist :-)
Na?

Gruß,
Gono.

Bezug
                                                                                
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Partielle stoch. Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Di 20.05.2014
Autor: Anjuta

:-) Stochastik für Dummies
Wiener Prozess?? (bin hier total unsicher)
Also wenn ich den umforme dann krieg ich sowas [mm] \integral_{0}^{t}{W_s ds}=tW_t -\integral_{0}^{t}{sdW_s} [/mm]
und der letzter Term ist doch ein Martingal oder?

Bezug
                                                                                        
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Partielle stoch. Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Di 20.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also wenn ich den umforme dann krieg ich sowas
> [mm]\integral_{0}^{t}{W_s ds}=tW_t -\integral_{0}^{t}{sdW_s}[/mm]

[ok]
  

> und der letzter Term ist doch ein Martingal oder?  

Ja, das wollte ich aber gar nicht wissen, sondern vielmehr, wie [mm] $\integral_{0}^{t}{W_s ds}$ [/mm] nun verteilt ist, das kann man da nämlich wunderbar rauslesen....

edit: Ach keks. Stimmt natürlich nicht. Wollte darauf hinaus, dass die rechte Seite Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist, aber das stimmt ja so gar nicht, weil das Integral gar nicht unabhängig von [mm] W_t [/mm] ist...... vergiss die Frage also einfach^^

edit2: *ha* Es stimmt aber doch, weil man die rechte Seite umschreiben kann in:

[mm] $tW_t [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{sdW_s} [/mm]  = [mm] t*\int_0^t [/mm] 1 [mm] dW_s [/mm]  - [mm] \integral_{0}^{t}{sdW_s} [/mm] = [mm] \int_0^t [/mm] t [mm] dW_s [/mm]  - [mm] \integral_{0}^{t}{sdW_s} [/mm] =  [mm] \int_0^t [/mm] (t-s) [mm] dW_s$ [/mm]

Und wir haben wieder was?

Gruß,
Gono.

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Partielle stoch. Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Mi 21.05.2014
Autor: Anjuta

Und wir haben wieder ein Gauß Prozess :-)
Danke dir

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