Partikuläre Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:44 Di 04.08.2009 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Wie lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y'+2y=2cos(3x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
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Die Lösung des homogenen Teils ist ja einfach [mm] y=C\*e^{-2x}
[/mm]
Nun müsste ich also einen Ansatz für die partikuläre Lösung wählen:
[mm] y_p=C\*sin(\omega\*x+\phi)
[/mm]
[mm] y_p=D\*cos(\omega\*x+\psi)
[/mm]
Ich habe [mm] y_p=C\*sin(\omega\*x+\phi) [/mm] gewählt und [mm] y'_p=C\omega\*cos(\omega\*x+\phi)
[/mm]
Bekomme also nach dem einsetzen
in [mm] y'+2y=2cos(3x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] 3C\*cos(3\*x+\bruch{\pi}{2})+2C\*sin(3\*x+\bruch{\pi}{2})=2cos(3x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Wie mach ich da jetzt den Koeffizientenvergleich?
Gruß
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Hallo LowBob,
> Wie lautet die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>
> [mm]y'+2y=2cos(3x\*\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
>
> Die Lösung des homogenen Teils ist ja einfach
> [mm]y=C\*e^{-2x}[/mm]
>
> Nun müsste ich also einen Ansatz für die partikuläre
> Lösung wählen:
>
> [mm]y_p=C\*sin(\omega\*x+\phi)[/mm]
>
> [mm]y_p=D\*cos(\omega\*x+\psi)[/mm]
>
>
> Ich habe [mm]y_p=C\*sin(\omega\*x+\phi)[/mm] gewählt und
> [mm]y'_p=C\omega\*cos(\omega\*x+\phi)[/mm]
>
> Bekomme also nach dem einsetzen
>
> in [mm]y'+2y=2cos(3x\*\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]3C\*cos(3\*x+\bruch{\pi}{2})+2C\*sin(3\*x+\bruch{\pi}{2})=2cos(3x\*\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Wie mach ich da jetzt den Koeffizientenvergleich?
Wenn obige DGL richtig ist, dann machst Du den Ansatz
[mm]y_{p}=A*\sin\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)+B*\cos\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 04.08.2009 | | Autor: | LowBob |
> Hallo LowBob,
Hallo MathePower,
kann ich das einfach so machen?
Bei mir heist es einfach im Ansatz:
[mm] y_p=Asin(\omega{x})+Bcos(\omega{x})
[/mm]
Ich dachte das ginge nicht weil da kein [mm] \phi [/mm] drinn ist???
Aber den Winkel muss ich doch irgenwie beachten oder? Wie komme ich dan auf [mm] \omega?
[/mm]
>
> Wenn obige DGL richtig ist, dann machst Du den Ansatz
>
> [mm]y_{p}=A*\sin\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)+B*\cos\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
Für welche Art von Gleichungen sind denn die oben genannten Ansätze zu gebrauchen?
> Gruß
> MathePower
Gruß
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Hallo LowBob,
> > Hallo LowBob,
> Hallo MathePower,
>
> kann ich das einfach so machen?
> Bei mir heist es einfach im Ansatz:
> [mm]y_p=Asin(\omega{x})+Bcos(\omega{x})[/mm]
>
> Ich dachte das ginge nicht weil da kein [mm]\phi[/mm] drinn ist???
Dieser Ansatz funktionier immer.
Theoretisch kannst Du den Ansatz zusammenfassen zu
[mm]y_p=C*sin(\omega{x}+\varphi)[/mm]
Dann mußt Du, nach dem Einsetzen in die DGL,
Additionstheoreme verwenden, um einen
Koeffizientenvergleich durchführen zu können.
> Aber den Winkel muss ich doch irgenwie beachten oder? Wie
> komme ich dan auf [mm]\omega?[/mm]
Das [mm]\omega[/mm] wird Dir von der Störfunktion vorgegeben,
> >
> > Wenn obige DGL richtig ist, dann machst Du den Ansatz
> >
> >
> [mm]y_{p}=A*\sin\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)+B*\cos\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
> >
> Für welche Art von Gleichungen sind denn die oben
> genannten Ansätze zu gebrauchen?
Nun, der Ansatz ist für lineare DGLn mit konstanten Koeffizienten,
die nicht die homogenen Lösungen [mm]\sin\left(\omega*x\right)[/mm] bzw. [mm]\cos\left(\omega*x\right)[/mm] hat, aber dessen Störfunktion von der Gestalt [mm]C*\sin\left(\omega*x\right)+D*\cos\left(\omega*x\right)[/mm] ist.
>
> > Gruß
> > MathePower
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 04.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
um ehrlich zu sein, habe ich das nicht verstanden... :-(
Was ist denn für diesen Fall das [mm] \omega [/mm] ?
> Das [mm]\omega[/mm] wird Dir von der Störfunktion vorgegeben,
>
>
> [mm]y_{p}=A*\sin\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)+B*\cos\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo LowBob,
> Hallo,
> um ehrlich zu sein, habe ich das nicht verstanden... :-(
>
> Was ist denn für diesen Fall das [mm]\omega[/mm] ?
>
> > Das [mm]\omega[/mm] wird Dir von der Störfunktion vorgegeben,
> >
> >
>
> >
> [mm]y_{p}=A*\sin\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)+B*\cos\left(3*x\*\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
>
Das [mm]\omega[/mm] ist hier: [mm]\omega=\bruch{3}{2}*\pi[/mm]
> >
> > Gruß
> > MathePower
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 04.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
erstmal n dickes SORRY!!!
Ich habe mich in der Aufgabenstellung vertippt.
die Störfunktion ist [mm] g(x)=2cos(3x+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Deshalb habe ich auch den Ansatz nicht verstanden...
Aus diesm Grund würde ich gern wissen, ob einer dieser Ansätze geeignet ist:
$ [mm] y_p=C*sin(\omega*x+\phi) [/mm] $
$ [mm] y_p=D*cos(\omega*x+\psi) [/mm] $
Und wenn ja, wie rechne ich damit???
Mein Problem ist, dass wenn ich ableite, dann bekomme ich ja entweder n sin oder cos. Und mit einem von beiden, kann ich keinen Koeffizientenvergleich machen...
Gruß LowBob
Und Sorry nochma für den Tipfehler...
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> Hallo,
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> erstmal n dickes SORRY!!!
>
> Ich habe mich in der Aufgabenstellung vertippt.
>
> die Störfunktion ist [mm]g(x)=2cos(3x+\bruch{\pi}{2})[/mm]
das würde ich erstmal als -2sin(3x) schreiben und dann hast du den ansatz:
[mm] A*sin(\omega *X)+B*cos(\omega [/mm] *x)
mit [mm] \omega [/mm] = -2
edit: [mm] \omega [/mm] = 3 natürlich
>
> Deshalb habe ich auch den Ansatz nicht verstanden...
>
> Aus diesm Grund würde ich gern wissen, ob einer dieser
> Ansätze geeignet ist:
>
> [mm]y_p=C*sin(\omega*x+\phi)[/mm]
>
> [mm]y_p=D*cos(\omega*x+\psi)[/mm]
>
> Und wenn ja, wie rechne ich damit???
> Mein Problem ist, dass wenn ich ableite, dann bekomme ich
> ja entweder n sin oder cos. Und mit einem von beiden, kann
> ich keinen Koeffizientenvergleich machen...
>
> Gruß LowBob
>
> Und Sorry nochma für den Tipfehler...
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Di 04.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Danke!
Klar, wenn man die Umformung aus dem Additionstheorem macht ist das tatsächlich viel einfacher...
Ich frag mich ob ich bei solch einem mathematischen Talent überhaupt die Klausur bestehe... ( Bedarf keines Kommentars  )
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Di 04.08.2009 | | Autor: | xPae |
Moin,
Mit fencheltees Umformung kannst du das sehr schön lösen.
Sonst müsstest du diesen Ansatz nehmen:
[mm] y_{p}=x*(a*sin(\omega*x)+b*cos(\omega*x))
[/mm]
Um den Koeffizientevergleich durchzuführen musst du zusammenfassen:
[mm] a*sin(\omega*x)+b*cos(\omega*x)= \wurzel{a^{2}+b^{2}}*sin(\omega+arctan(\bruch{b}{a}))=\wurzel{a^{2}+b^{2}}*cos(\omega-arctan(\bruch{a}{b}))
[/mm]
Alle Therme in denen ein "x" davor steht müssen wegfallen, sonst hast du falsch abgeleitet oder doch den falschen Ansatz(bei anderen Aufgaben zur Kontrolle)
Nur damit du weißt, wie du damit umgehen musst, wenn man es nicht umformen kann, oder du nicht darauf kommst.
Lg xPae
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