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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 03.07.2013 | | Autor: | thomjay |
Hallo zusammen,
beschäftige mich gerade mit DGL's 2. Ordnung und der partikulären Lösung. Welchen Ansatz wähle ich für die Störfunktion..
g(x) = [mm] \wurzel{2}*cos(x-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
.. wenn die Lösungen der charakteristischen Gleichung [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=3 [/mm] lauten?
Mich verwirrt es, dass das Cosinusargument noch eine Nullphase hat.
Ohne wäre der Ansatz denke ich Ax * sin(x) + Bx *cos(x).
Lautet der Ansatz hier
Ax * [mm] sin(x-\bruch{\pi}{4}) [/mm] + Bx * [mm] cos(x-\bruch{\pi}{4}) [/mm] ?
Danke für die Hilfe
Mfg, Thomjay
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
mit dem Ansatz
[mm] y(x)=A\sin(x-\pi/4)+B\cos(x-\pi/4)
[/mm]
solltest du eigentlich ans Ziel gelangen.
Die Phase hat ja keine Relevanz, denn beim Ableiten passiert mit der sowieso nix. Übrigens kannst du auch mit den Additionstheorem die Phase wegbekommen. Zudem ist [mm] \cos(\pi/4)=\frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] - Damit verschwindet also sogar noch das [mm] \sqrt{2}. [/mm] Klingt doch gut, oder?
Kannst du eventuell noch mal die komplette Aufgabe präsentieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:07 Do 04.07.2013 | | Autor: | thomjay |
Danke für die Hilfe. Klar kann ich die Aufgabe präsentieren:
[mm] y''-4y'+3y=e^{3x}+\wurzel{2}*cos(x-\pi/4)
[/mm]
Mein Versuch:
Homogene Lösung:
[mm] y_{0}''-4y_{0}'+3y_{0}=0
[/mm]
[mm] \lambda^{2}-4\lambda+3=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1,2}=2\pm\wurzel(1) \Rightarrow \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3
[/mm]
[mm] y_{0}=C_{1}*e^{3x}+C_{2}*e^{3x}
[/mm]
Partikuläre Lösung: (Ansatz)
[mm] y_{p}=ax*e^{3x}+A*sin(x-\pi/4)+B*cos(x-\pi/4)
[/mm]
[mm] y_{p}'=a*e^{3x}+3ax*e^{3x}+A*cos(x-\pi/4)-B*sin(x-\pi/4)
[/mm]
[mm] y_{p}''=3a*e^{3x}+3a*e^{3x}+9ax*e^{3x}-A*sin(x-\pi/4)-B*cos(x-\pi/4)
[/mm]
Ansatz in die DGL eingesetzt:
[mm] (3a+3a+9ax-4a-12ax+3ax)*e^{3x}+(-A+4B+3A)*sin(x-\pi/4)+(-B-4A+3B)*cos(x-\pi/4)=1*e^{3x}+0*sin(x-\pi/4)+\wurzel{2}*cos(x-\pi/4)
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
2a=1 [mm] \Rightarrow a=\bruch{1}{2}
[/mm]
2A+4B=0 [mm] \Rightarrow [/mm] A=-2B
[mm] 2B-4A=\wurzel{2} \Rightarrow [/mm] B = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{10} \Rightarrow A=-\bruch{\wurzel{2}}{5}
[/mm]
Lösungsfunktion:
[mm] y=y_{0}+y_{p}=C_{1}*e^{3x}+C_{2}*e^{3x}+\bruch{1}{2}x*e^{3x}-\bruch{\wurzel{2}}{5}*sin(x-\pi/4)+\bruch{\wurzel{2}}{10}*cos(x-\pi/4)
[/mm]
Ist das so in Ordnung?
Wie sollte die [mm] \wurzel{2} [/mm] herausfallen?
Wenn der Weg zu umständlich war, freue ich mich über Ratschläge
Mfg, Thomjay
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Hi,
die Lösung stimmt. (Geprüft mit Mathematica)
Wegen der Sache mit dem Wegheben:
Es ist doch nach dem Additionstheorem:
[mm] \cos(x-\pi/4)=\cos(x)\cos(\pi/4)+\sin(x)\sin(\pi/4)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)
[/mm]
Also mit dem Koeffizient von [mm] \sqrt{2} [/mm] ergibt sich:
[mm] \sqrt{2}\cos(x-\pi/4)=\cos(x)-\sin(x)
[/mm]
Ob sich damit die Rechnung vereinfach ist eine andere Frage. Meiner Meinung nach sieht das ganze aber schon ein bisschen humaner aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Do 04.07.2013 | | Autor: | thomjay |
Das sieht auf jeden Fall humaner aus!
Aber jetzt ist neben dem Cosinus noch ein Sinus enthalten, was den partikulären Ansatz verlängert, denke es wird dadurch nicht einfacher.
Aber vielen Dank für die Hilfe!
Mfg, Thomjay
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