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Partikulärer Lösungsansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mi 25.03.2015
Autor: Mathe-Andi

Hallo,

ich habe folgendes gegeben:

[mm] \lambda_1=-3i [/mm]
[mm] \lambda_2=3i [/mm]
[mm] y_1=sin(3x) [/mm]
[mm] y_2=cos(3x) [/mm]
[mm] g(x)=e^{(3x)}*cos(x) [/mm]

Nun ist der partikuläre Lösungsansatz [mm] y_p [/mm] zu ermitteln.

1) Schritt: Die Störfunktion g(x) wird als Produkt zweier Störfunktionen [mm] g_1(x) [/mm] sowie [mm] g_2(x) [/mm] betrachtet.

[mm] g_1(x)=e^{3x} [/mm]
[mm] g_2(x)=cos(x) [/mm]

Die partikuläre Lösung [mm] y_p [/mm] ist ebenso das Produkt der beiden partikulären Lösungsansätze [mm] y_{p1} [/mm] sowie [mm] y_{p2}. [/mm]

2) Schritt: Ermittlung [mm] y_{p1}: [/mm]

[mm] g_1(x)=e^{3x} [/mm] der Form [mm] e^{(cx)} [/mm] mit c=3

Also gilt [mm] c\not=\lambda [/mm] und der folgende Ansatz [mm] y_{p1}: [/mm]

[mm] y_{p1}=A*e^{(3x)} [/mm]

3) Schritt: Ermittlung [mm] y_{p2} [/mm]

[mm] g_2(x)=cos(3x) [/mm] der Form [mm] cos(\beta*x) [/mm] mit [mm] \beta=3 [/mm]

Ich muss hier nun entscheiden ob [mm] \beta=\lambda [/mm] oder [mm] \beta\not=\lambda. [/mm] Ist es nun nicht so, dass bei komplexwertiger Nullstelle gilt [mm] j\omega=j\beta, [/mm] also [mm] \beta=\omega? [/mm]

[mm] \lambda=0\pm3j [/mm] der Form [mm] \lambda=\alpha\pm\omega*j [/mm] mit [mm] \omega=3 [/mm]

Demnach wäre [mm] \beta=\omega [/mm] und es gilt der Ansatz:

[mm] y_p=x*[A*sin(\beta*x) [/mm] + [mm] B*cos(\beta*x)] [/mm]

Laut meiner Lösung stimmt das aber nicht. Kann ich das mit [mm] \beta=\omega [/mm] hier nicht sagen?

Der Grund für meine Unsicherheit steht in der "Mathematischen Formelsammlung" (Papula) auf Seite 282 Pkt. 3. Dort ist von [mm] j*\beta [/mm] die Rede, welches zum Vergleich für diese Entscheidung herangezogen wird.

Gruß, Andreas



        
Bezug
Partikulärer Lösungsansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Mi 25.03.2015
Autor: MathePower

Hallo Mathe-Andi,

> Hallo,
>  
> ich habe folgendes gegeben:
>  
> [mm]\lambda_1=-3i[/mm]
>  [mm]\lambda_2=3i[/mm]
>  [mm]y_1=sin(3x)[/mm]
>  [mm]y_2=cos(3x)[/mm]
>  [mm]g(x)=e^{(3x)}*cos(x)[/mm]
>  
> Nun ist der partikuläre Lösungsansatz [mm]y_p[/mm] zu ermitteln.
>  
> 1) Schritt: Die Störfunktion g(x) wird als Produkt zweier
> Störfunktionen [mm]g_1(x)[/mm] sowie [mm]g_2(x)[/mm] betrachtet.
>  
> [mm]g_1(x)=e^{3x}[/mm]
>  [mm]g_2(x)=cos(x)[/mm]
>  
> Die partikuläre Lösung [mm]y_p[/mm] ist ebenso das Produkt der
> beiden partikulären Lösungsansätze [mm]y_{p1}[/mm] sowie [mm]y_{p2}.[/mm]
>  
> 2) Schritt: Ermittlung [mm]y_{p1}:[/mm]
>  
> [mm]g_1(x)=e^{3x}[/mm] der Form [mm]e^{(cx)}[/mm] mit c=3
>  
> Also gilt [mm]c\not=\lambda[/mm] und der folgende Ansatz [mm]y_{p1}:[/mm]
>  
> [mm]y_{p1}=A*e^{(3x)}[/mm]
>  
> 3) Schritt: Ermittlung [mm]y_{p2}[/mm]
>  
> [mm]g_2(x)=cos(3x)[/mm] der Form [mm]cos(\beta*x)[/mm] mit [mm]\beta=3[/mm]
>  
> Ich muss hier nun entscheiden ob [mm]\beta=\lambda[/mm] oder
> [mm]\beta\not=\lambda.[/mm] Ist es nun nicht so, dass bei
> komplexwertiger Nullstelle gilt [mm]j\omega=j\beta,[/mm] also
> [mm]\beta=\omega?[/mm]
>  
> [mm]\lambda=0\pm3j[/mm] der Form [mm]\lambda=\alpha\pm\omega*j[/mm] mit
> [mm]\omega=3[/mm]
>  
> Demnach wäre [mm]\beta=\omega[/mm] und es gilt der Ansatz:
>  
> [mm]y_p=x*[A*sin(\beta*x)[/mm] + [mm]B*cos(\beta*x)][/mm]
>  
> Laut meiner Lösung stimmt das aber nicht. Kann ich das mit
> [mm]\beta=\omega[/mm] hier nicht sagen?
>  
> Der Grund für meine Unsicherheit steht in der
> "Mathematischen Formelsammlung" (Papula) auf Seite 282 Pkt.
> 3. Dort ist von [mm]j*\beta[/mm] die Rede, welches zum Vergleich
> für diese Entscheidung herangezogen wird.
>  


Wenn die Störfunktion Lösung der homogenen DGL sein soll,
dann müßte [mm]\lambda=3+j[/mm] eine Lösung der charakteristischen
Gleichung der DGL sein. Und das ist sie nicht.


> Gruß, Andreas
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Partikulärer Lösungsansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mi 25.03.2015
Autor: Mathe-Andi

Na klar, der Real- und Imaginäranteil je nachdem ob ich cos(x) oder sin(x) habe. Ich glaube ich habs wieder. Danke!

Gruß, Andreas

Bezug
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