Partikulärer Lösungsansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 22.07.2009 | | Autor: | ET_WS07 |
| Aufgabe | | [mm] y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^{-x}+e^{-2x} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist:
[mm] y_{p}=Ae^{-x}+Bxe^{-2x}
[/mm]
Das zusätzliche x ist im 2. Summanden deshalb, weil -2 eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
Wenn ich die DGL von Maple lösen lasse, bekomme ich jedoch drei Summanden für die partikuläre Lösung. Der 3. Summand hat die Form [mm] Ke^{-2x}. [/mm] Warum ist dieser 3. Summand notwendig?
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> [mm]y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^{-x}+e^{-2x}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Mein Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist:
> [mm]y_{p}=Ae^{-x}+Bxe^{-2x}[/mm]
>
> Das zusätzliche x ist im 2. Summanden deshalb, weil -2
> eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
>
> Wenn ich die DGL von Maple lösen lasse, bekomme ich jedoch
> drei Summanden für die partikuläre Lösung. Der 3.
> Summand hat die Form [mm]Ke^{-2x}.[/mm] Warum ist dieser 3. Summand
> notwendig?
[mm] K_1*e^{-2*x}+K_2*e^{-3*x} [/mm] sind doch die lösungen der homogenen gleichung, der 3. summand ist dann von der störfunktion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mi 22.07.2009 | | Autor: | ET_WS07 |
| Aufgabe | | [mm] y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^{-x}+e^{-2x} [/mm] |
> > Mein Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist:
> > [mm]y_{p}=Ae^{-x}+Bxe^{-2x}[/mm]
> >
> > Das zusätzliche x ist im 2. Summanden deshalb, weil -2
> > eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
> >
> > Wenn ich die DGL von Maple lösen lasse, bekomme ich jedoch
> > drei Summanden für die partikuläre Lösung. Der 3.
> > Summand hat die Form [mm]Ke^{-2x}.[/mm] Warum ist dieser 3. Summand
> > notwendig?
> [mm]K_1*e^{-2*x}+K_2*e^{-3*x}[/mm] sind doch die lösungen der
> homogenen gleichung, der 3. summand ist dann von der
> störfunktion
Die Lösung hat insgesamt 5 Summanden. Die beiden der homogenen Lösung, die du eben geschrieben hast und nach denen ich nicht gefragt habe, sowie drei der partikulären Lösung. Die Störfunktion muss ja offensichtlich schon mindestens zwei Summanden liefern.
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> [mm]y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^{-x}+e^{-2x}[/mm]
> > > Mein Lösungsansatz für die partikuläre Lösung
> ist:
> > > [mm]y_{p}=Ae^{-x}+Bxe^{-2x}[/mm]
> > >
> > > Das zusätzliche x ist im 2. Summanden deshalb, weil -2
> > > eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
> > >
> > > Wenn ich die DGL von Maple lösen lasse, bekomme ich jedoch
> > > drei Summanden für die partikuläre Lösung. Der 3.
> > > Summand hat die Form [mm]Ke^{-2x}.[/mm] Warum ist dieser 3. Summand
> > > notwendig?
> > [mm]K_1*e^{-2*x}+K_2*e^{-3*x}[/mm] sind doch die lösungen der
> > homogenen gleichung, der 3. summand ist dann von der
> > störfunktion
>
> Die Lösung hat insgesamt 5 Summanden. Die beiden der
> homogenen Lösung, die du eben geschrieben hast und nach
> denen ich nicht gefragt habe, sowie drei der partikulären
> Lösung. Die Störfunktion muss ja offensichtlich schon
> mindestens zwei Summanden liefern.
jetzt hab ich die frage erst verstanden, sorry
habs selbst nachgerechnet und komm auch auf die richtigen 4 summanden. wenn ichs mit wxmaxima mache kommt auch der 5. dazu, den man aber eigentlich mit [mm] k_1*e^{-2x}-e^{-2x}=(k_1-1)*e^{-2x}=k_2*e^{-2x} [/mm] machen könnte, also wirds am rechenverfahren liegen denk ich. frage lass ich auf offen
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Hallo ET__WS07,
> [mm]y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^{-x}+e^{-2x}[/mm]
> > > Mein Lösungsansatz für die partikuläre Lösung
> ist:
> > > [mm]y_{p}=Ae^{-x}+Bxe^{-2x}[/mm]
> > >
> > > Das zusätzliche x ist im 2. Summanden deshalb, weil -2
> > > eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
> > >
> > > Wenn ich die DGL von Maple lösen lasse, bekomme ich jedoch
> > > drei Summanden für die partikuläre Lösung. Der 3.
> > > Summand hat die Form [mm]Ke^{-2x}.[/mm] Warum ist dieser 3. Summand
> > > notwendig?
> > [mm]K_1*e^{-2*x}+K_2*e^{-3*x}[/mm] sind doch die lösungen der
> > homogenen gleichung, der 3. summand ist dann von der
> > störfunktion
>
> Die Lösung hat insgesamt 5 Summanden. Die beiden der
> homogenen Lösung, die du eben geschrieben hast und nach
> denen ich nicht gefragt habe, sowie drei der partikulären
> Lösung. Die Störfunktion muss ja offensichtlich schon
> mindestens zwei Summanden liefern.
Die gesamte Lösung hat dann 4 Summanden.
2 von der homogenen Lösung der DGL und ebenfalls
2 von der partikulären Lösung der DGL.
In Maple wird hier wahrscheinlich
der Ansatz [mm]y_{p}=\left(A*x+B\right)*e^{-2x}[/mm] gemacht.
Daher auch die 5 Summanden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Do 23.07.2009 | | Autor: | ET_WS07 |
> Hallo ET__WS07,
>
> > [mm]y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^{-x}+e^{-2x}[/mm]
> > > > Mein Lösungsansatz für die partikuläre Lösung
> > ist:
> > > > [mm]y_{p}=Ae^{-x}+Bxe^{-2x}[/mm]
> > > >
> > > > Das zusätzliche x ist im 2. Summanden deshalb, weil -2
> > > > eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
> > > >
> > > > Wenn ich die DGL von Maple lösen lasse, bekomme ich jedoch
> > > > drei Summanden für die partikuläre Lösung. Der 3.
> > > > Summand hat die Form [mm]Ke^{-2x}.[/mm] Warum ist dieser 3. Summand
> > > > notwendig?
> > > [mm]K_1*e^{-2*x}+K_2*e^{-3*x}[/mm] sind doch die lösungen der
> > > homogenen gleichung, der 3. summand ist dann von der
> > > störfunktion
> >
> > Die Lösung hat insgesamt 5 Summanden. Die beiden der
> > homogenen Lösung, die du eben geschrieben hast und nach
> > denen ich nicht gefragt habe, sowie drei der partikulären
> > Lösung. Die Störfunktion muss ja offensichtlich schon
> > mindestens zwei Summanden liefern.
>
>
> Die gesamte Lösung hat dann 4 Summanden.
>
> 2 von der homogenen Lösung der DGL und ebenfalls
> 2 von der partikulären Lösung der DGL.
>
> In Maple wird hier wahrscheinlich
> der Ansatz [mm]y_{p}=\left(A*x+B\right)*e^{-2x}[/mm] gemacht.
> Daher auch die 5 Summanden.
Ist mein Ansatz also auch korrekt?
Warum macht Maple den von dir genannten Ansatz? Diesen Ansatz hätte ich bei einer Störfunktion bestehend aus einem Produkt von Polynom und Exponentialfunktion erwartet.
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Hallo ET_WS07,
> > Hallo ET__WS07,
> >
> > > [mm]y''(x)+5y'(x)+6y(x)=e^{-x}+e^{-2x}[/mm]
> > > > > Mein Lösungsansatz für die partikuläre
> Lösung
> > > ist:
> > > > > [mm]y_{p}=Ae^{-x}+Bxe^{-2x}[/mm]
> > > > >
> > > > > Das zusätzliche x ist im 2. Summanden deshalb, weil -2
> > > > > eine Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
> > > > >
> > > > > Wenn ich die DGL von Maple lösen lasse, bekomme ich jedoch
> > > > > drei Summanden für die partikuläre Lösung. Der 3.
> > > > > Summand hat die Form [mm]Ke^{-2x}.[/mm] Warum ist dieser 3. Summand
> > > > > notwendig?
> > > > [mm]K_1*e^{-2*x}+K_2*e^{-3*x}[/mm] sind doch die lösungen der
> > > > homogenen gleichung, der 3. summand ist dann von der
> > > > störfunktion
> > >
> > > Die Lösung hat insgesamt 5 Summanden. Die beiden der
> > > homogenen Lösung, die du eben geschrieben hast und nach
> > > denen ich nicht gefragt habe, sowie drei der partikulären
> > > Lösung. Die Störfunktion muss ja offensichtlich schon
> > > mindestens zwei Summanden liefern.
> >
> >
> > Die gesamte Lösung hat dann 4 Summanden.
> >
> > 2 von der homogenen Lösung der DGL und ebenfalls
> > 2 von der partikulären Lösung der DGL.
> >
> > In Maple wird hier wahrscheinlich
> > der Ansatz [mm]y_{p}=\left(A*x+B\right)*e^{-2x}[/mm] gemacht.
> > Daher auch die 5 Summanden.
>
> Ist mein Ansatz also auch korrekt?
Ja, Dein Ansatz ist korrekt.
> Warum macht Maple den von dir genannten Ansatz? Diesen
Das werden wohl die Entwickler von Maple wissen,
warum dieser Ansatz gemacht wird.
> Ansatz hätte ich bei einer Störfunktion bestehend aus
> einem Produkt von Polynom und Exponentialfunktion erwartet.
Gruß
MathePower
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