Partikulärlsg.(kompl.Nullst.) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Di 16.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | [mm] y'''(x)+2y''(x)+y'(x)+2y(x)=5xe^{-x}
[/mm]
Wie lautet die allgemeine reelle Lösung der obigen Gleichung? |
Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt:
[mm] \lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=i, \lambda_{3}=-i,
[/mm]
Daraus habe ich die homogene Gleichung aufgestellt:
[mm] y_{h}=c_{0}cos(x)+c_{1}sin(x)+c_{2}e^{-2x}
[/mm]
Nun gehts um den Ansatz für die Partikulärlösung, ich habe gewählt:
[mm] q(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{-x}
[/mm]
Aus der reellen Nullstelle der homogenen Gleichung folgt (D+2E)...aber wie mache ich das mit den komplexen Nullstellen?
[mm] (D+2E)*...*(c_{0}+c_{1}x)e^{-x}=5xe^{-x}
[/mm]
Vielen Dank schonmal im Voraus
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Hallo Boki87,
> [mm]y'''(x)+2y''(x)+y'(x)+2y(x)=5xe^{-x}[/mm]
>
> Wie lautet die allgemeine reelle Lösung der obigen
> Gleichung?
> Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt:
> [mm]\lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=i, \lambda_{3}=-i,[/mm]
>
> Daraus habe ich die homogene Gleichung aufgestellt:
> [mm]y_{h}=c_{0}cos(x)+c_{1}sin(x)+c_{2}e^{-2x}[/mm]
>
> Nun gehts um den Ansatz für die Partikulärlösung, ich habe
> gewählt:
>
> [mm]q(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{-x}[/mm]
>
> Aus der reellen Nullstelle der homogenen Gleichung folgt
> (D+2E)...aber wie mache ich das mit den komplexen
> Nullstellen?
>
> [mm](D+2E)*...*(c_{0}+c_{1}x)e^{-x}=5xe^{-x}[/mm]
Zunächst steht da mal:
[mm]\left(D+2E\right)\left(D+iE\right)\left(D-iE\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)e^{-x}=5xe^{-x}[/mm]
Nun ist
[mm]\left(D+iE\right)\left(D-iE\right)=D^{2}-iDE+iED-i^{2}E^{2}=D^{2}-i^{2}E^{2}=D^{2}+E^{2}=D^{2}+E[/mm]
Das eingesetzt,ergibt:
[mm]\left(D+2E\right)\left(D^ {2}+E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)e^{-x}=5xe^{-x}[/mm]
>
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
Ok das führt dann zu: [mm] (D+E)(D^{2})(c_{0}+c_{1}x)=5x
[/mm]
[mm] (D^{3}+D^{2})(c_{0}+c_{1}x)=5x
[/mm]
Aber [mm] D^{3}(c_{0}+c_{1}x) [/mm] und [mm] D^{2}(c_{0}+c_{1}x) [/mm] sind 0 oder? Und dann stimmt's doch nicht?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Ok das führt dann zu: [mm](D+E)(D^{2})(c_{0}+c_{1}x)=5x[/mm]
> [mm](D^{3}+D^{2})(c_{0}+c_{1}x)=5x[/mm]
>
> Aber [mm]D^{3}(c_{0}+c_{1}x)[/mm] und [mm]D^{2}(c_{0}+c_{1}x)[/mm] sind 0
> oder? Und dann stimmt's doch nicht?
Das muss heissen:
[mm]\left(D+\blue{2}E\right)\left(D^{2}+E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)\blue{e^ {-x}}=5x\blue{e^{-x}}[/mm]
Dann mußt Du erstmal
[mm]\left(D^{2}+E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)e^{-x}[/mm]
berechnen.
[mm]D\left( \ \left(c_{0}+c_{1}x\right)e^{-x} \ \right )=\left( \ D\left(c_{0}+c_{1}x\right) \ \right)*e^{-x}+\left(c_{0}+c_{1}x\right)*\left(-e^{-x}\right)[/mm]
[mm]=e^{-x}\left( \ D- E \ \right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
Nochmal D darauf angewendet:
[mm]D\left( \ e^{-x} \ \left( \ \left(D-E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right) \ \right) \ \right)=-e^{-x} \left( \ \left(D-E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)\ \right)+e^{-x} D\left( \ \left( \ \left(D-E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)\ \right) \ \right)[/mm]
[mm]=-e^{-x}\left(D-E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)+e^{-x}\left(D^{2}-ED\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
[mm]=-e^{-x}\left(D-E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)+e^{-x}\left(D^{2}-D\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
[mm]=e^{-x}\left(D^{2}-2D+E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
Damit ist
[mm]\left(D^{2}+E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)e^{-x}=e^{-x}\left(D^{2}-2D+2E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)[/mm]
Und dann D+2E darauf anwenden.
>
>
> Gruß
>
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 21.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
Kann ich denn nicht aus $ [mm] \left(D+2E\right)\left(D^ {2}+E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)e^{-x}=5xe^{-x} [/mm] $ $ [mm] (D+E)(D^{2})(c_{0}+c_{1}x)=5x [/mm] $ machen indem ich das [mm] e^{-x} [/mm] rauszieh und auf beiden Seite dadurch teile?
Also bei dem 2E wird es zum E und beim E fällt es weg da ich im Exponenten -x habe? Bei den anderen Aufgaben hab ich das auch so gemacht, wieso gehts denn bei dir nicht?
Vielen Dank
Boki87
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Hallo Boki87,
> Kann ich denn nicht aus [mm]\left(D+2E\right)\left(D^ {2}+E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)e^{-x}=5xe^{-x}[/mm]
> [mm](D+E)(D^{2})(c_{0}+c_{1}x)=5x[/mm] machen indem ich das [mm]e^{-x}[/mm]
> rauszieh und auf beiden Seite dadurch teile?
Dann ist ja schon [mm]D^{2}\left(c_{0}+c_{1}x\right)=0[/mm]
Demnach dann auch [mm]\left(D+E\right)\left( \ 0 \ \right)=0=5x[/mm]
> Also bei dem 2E wird es zum E und beim E fällt es weg da
> ich im Exponenten -x habe? Bei den anderen Aufgaben hab ich
> das auch so gemacht, wieso gehts denn bei dir nicht?
Ich weiss es nicht, warum es bei den Aufgaben,
die Du da gemacht hast, geht und bei dieser nicht.
Es ist ja
[mm]D\left[ \ \left(c_{0}+c_{1}x\right) e^{-x} \ \right]=e^{-x}\left(D-E\right)\left[c_{0}+c_{1}x\right][/mm]
Dann ist
[mm]D^{2}\left[ \ \left(c_{0}+c_{1}x\right) e^{-x} \ \right]=D\left[ \ e^{-x}\left(D-E\right)\left[c_{0}+c_{1}x\right] \ \right][/mm]
[mm]=D\left[ \ \left\{ \left(D-E\right)\left[c_{0}+c_{1}x\right] \ \right\} e^{-x} \ \right][/mm]
[mm]=e^{-x}\left(D-E\right)\left\{ \left(D-E\right)\left[c_{0}+c_{1}x\right] \ \right\}[/mm]
[mm]=e^{-x}\left(D-E\right)^{2}\left[c_{0}+c_{1}x\right][/mm]
[mm]=e^{-x}\left(D^{2}-2DE+E^{2}\right)\left[c_{0}+c_{1}x\right][/mm]
[mm]=e^{-x}\left(D^{2}-2D+E\right)\left[c_{0}+c_{1}x\right][/mm]
>
> Vielen Dank
>
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Di 23.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
Hallo
Oder vielleicht habe ich da etwas falsch verstanden, aber z.B. bei der anderen Aufgabe die ich hier gepostet habe (https://www.vorhilfe.de/read?i=487794)wurde genau dieses hier gemacht oder?
Nun kommt der nächste Schritt $ [mm] y_{p}(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{2x} [/mm] $ und daraus folgt $ [mm] (D+2E)(D+E)((c_{0}+c_{1}x)e^{2x}) [/mm] $
$ [mm] =e^{2x}(D+4E)(D+3E)(c_{0}+c_{1}x) [/mm] $
$ [mm] =e^{2x}(D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x) [/mm] $
Gruß und frohe Weihnachten
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Hallo Boki87,
> Hallo
>
> Oder vielleicht habe ich da etwas falsch verstanden, aber
> z.B. bei der anderen Aufgabe die ich hier gepostet habe
> (https://www.vorhilfe.de/read?i=487794)wurde genau dieses
> hier gemacht oder?
>
> Nun kommt der nächste Schritt
> [mm]y_{p}(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{2x}[/mm] und daraus folgt
> [mm](D+2E)(D+E)((c_{0}+c_{1}x)e^{2x})[/mm]
> [mm]=e^{2x}(D+4E)(D+3E)(c_{0}+c_{1}x)[/mm]
> [mm]=e^{2x}(D^{2}+7D+12E)(c_{0}+c_{1}x)[/mm]
In dieser Aufgabe wurde D durch D+2E ersetzt.
Übertragen auf die Originalaufgabe, mußt Du D durch D-E ersetzen.
>
> Gruß und frohe Weihnachten
Danke, gleichfalls.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Boki87 |
So ich habs jetzt, bin drauf gekommen, endlich :))))
Also mein Ansatz hätte so aussehen müssen um das [mm] e^{-x} [/mm] rauszukriegen:
$ [mm] \left(D+E\right)\left(D+iE-E\right)\left(D-iE-E\right)\left(c_{0}+c_{1}x\right)=5x [/mm] $
[mm] (D+E)(D^{2}-2D+2E)(c_{0}+c_{1}x)=5x
[/mm]
[mm] (D^{3}-D^{2}+2E)(c_{0}+c_{1}x)=5x
[/mm]
[mm] 2c_{0}+2c_{1}x=5x
[/mm]
[mm] c_{1}=\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] c_{0}=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Do 18.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Boki,
> [mm]y'''(x)+2y''(x)+y'(x)+2y(x)=5xe^{-x}[/mm]
>
> Wie lautet die allgemeine reelle Lösung der obigen
> Gleichung?
> Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt:
> [mm]\lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=i, \lambda_{3}=-i,[/mm]
>
> Daraus habe ich die homogene Gleichung aufgestellt:
> [mm]y_{h}=c_{0}cos(x)+c_{1}sin(x)+c_{2}e^{-2x}[/mm]
>
> Nun gehts um den Ansatz für die Partikulärlösung, ich habe
> gewählt:
>
> [mm]q(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{-x}[/mm]
>
> Aus der reellen Nullstelle der homogenen Gleichung folgt
> (D+2E)...aber wie mache ich das mit den komplexen
> Nullstellen?
nimm doch deinen Ansatz:
[mm] q(x)=(c_{0}+c_{1}x)e^{-x}
[/mm]
dann dreimal ableiten
q(x)'=....
q(x)''=....
q(x)'''=....
einstzen in die DGL und ausmultiplizieren. Danach Koeffizentenvergleich:
[mm] \green{2c_1}xe^{-x}=\green{5}xe^{-x}
[/mm]
[mm] \blue{2c_0}e^{-x}=\blue{0}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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