Partition, Unter/Obersummen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 26.06.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo ihr :)
habe folgende Verständnisfrage:
Sei [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] stetig und [mm] $P=(x_0,x_1,...x_n)$ [/mm] eine Partition von [mm] $\([a,b]$ [/mm]
Wir haben die Untersumme so definiert:
[mm] $S_*(f,P):=\summe_{i=1}^{n}m_i(f)*\Delta x_i$
[/mm]
mit
[mm] $m_i(f):=inf\{f(x)|x\in[x_i_-_1,x_i]\}$
[/mm]
[mm] $\Delta x_i:=x_i-x_i_-_1$
[/mm]
Meine Frage ist jetzt:
Wenn ich sage, meine Partition P sind gerade 2 Punkte, also [mm] $P_1=(x_1,x_2)=(a,b)$ [/mm] ist dann meine Untersumme:
[mm] $S_*(f,P):=m_1(f)*(b-a)$
[/mm]
Und entsprechend [mm] $m_1(f)=inf[f(a),f(b)]$?
[/mm]
Bin mir nicht sicher ob ich verstanden habe, wie man eine Partition richtig bildet.Auf jeden Fall muss doch schon mal [mm] $x_0\le x_1\le [/mm] ... [mm] \le x_n$ [/mm] sein.
Bei mir also [mm] $\(a\le [/mm] b$, was ja der Fall ist.
Wäre nett wenn mir jemand kurz sagen könnte, ob das eine richtige Partition von [a,b] ist.
Vielen Dank :)
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> Hallo ihr :)
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> habe folgende Verständnisfrage:
>
> Sei [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] stetig und [mm]P=(x_0,x_1,...x_n)[/mm] eine
> Partition von [mm]\([a,b][/mm]
Hallo,
Du hast also das Intervall [a,b] und unterteilst es durch die Punkte [mm] x_0:=a, x_1, x_2,...,x_n:=b [/mm] mit [mm] (x_0
Das k-te Teilintervall [mm] I_k [/mm] ist das Intervall [mm] I_k:=[x_{k-1}, x_k].
[/mm]
Am besten machst Du Dir das mal klar, indem Du etwa das Intervall [2,8] in 5 (nicht unbedingt gleichgroße) Teilintervalle unterteilst.
>
> Wir haben die Untersumme so definiert:
> [mm]S_*(f,P):=\summe_{i=1}^{n}m_i(f)*\Delta x_i[/mm]
>
> mit
> [mm]m_i(f):=inf\{f(x)|x\in[x_i_-_1,x_i]\}[/mm]
[mm] m_i(f) [/mm] ist der kleinste Funktionswert, welchen die Funktion f über dem i-ten Teilintervall annimmt.
>
> [mm]\Delta x_i:=x_i-x_i_-_1[/mm]
Das ist die Länge des i-ten Teilintervalls.
>
> Meine Frage ist jetzt:
>
> Wenn ich sage, meine Partition P sind gerade 2 Punkte, also
> [mm]P_1=(x_1,x_2)=(a,b)[/mm] ist dann meine Untersumme:
>
> [mm]S_*(f,P):=m_1(f)*(b-a)[/mm]
>
> Und entsprechend [mm]m_1(f)=inf[f(a),f(b)][/mm]?
Ja, genau.
>
> Bin mir nicht sicher ob ich verstanden habe, wie man eine
> Partition richtig bildet.Auf jeden Fall muss doch schon mal
> [mm]x_0\le x_1\le ... \le x_n[/mm] sein.
Echt kleiner.
> Bei mir also [mm]\(a\le b[/mm], was ja der Fall ist.
>
> Wäre nett wenn mir jemand kurz sagen könnte, ob das eine
> richtige Partition von [a,b] ist.
[mm] (x_1:=a, x_2:=b) [/mm] wäre eine Partition von [a,b].
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 26.06.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
großen Danke für deine ausführliche Antwort :)
Wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe, dann stimmt das Folgende hoffentlich:
Ich habe ein Intervall [mm] $\([a,b]$ [/mm] und ein Teilintervall [mm] $[u,v]\subset[a,b]$ [/mm] und eine stetige Funktion [mm] $f:[a,b]\to\IR$
[/mm]
Sei [mm] $u:=x_\xi$ [/mm] und [mm] $v:=x_\delta$ [/mm]
Ich möchte jetzt die Obersumme gerne so schreiben:
[mm] $S^o(f,P):=\summe_{i=1}^{n}m_i(f)\cdot{}\Delta x_i=\summe_{i=1}^{\xi}m_i(f)\cdot{}\Delta x_i+\summe_{i=\xi+1}^{\delta}m_i(f)\cdot{}\Delta x_i+\summe_{i=\delta+1}^{n}m_i(f)\cdot{}\Delta x_i=S^o(f,P_a^\xi)+S^o(f,P_\xi^\delta)+S^o(f;P_\delta^b)$
[/mm]
Das müsste doch gehen,oder?
vielen lieben Dank und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Prinzip hast dus richtig, die [mm] m_i [/mm] sind aber nicht mehr wie im post davor definiert.
aber du musst eine Unterteilung von a,b haben in der u,v Teilpunkte sind, d.h. du musst das erwähnen. und du hast die Intervalle zw [mm] \xi [/mm] und [mm] \xi+1 [/mm] und [mm] \delta [/mm] und [mm] \delta+1 [/mm] vergessen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 27.06.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für deine Antwort :)
> im Prinzip hast dus richtig, die [mm]m_i[/mm] sind aber nicht mehr
> wie im post davor definiert.
Ja, denn hier gilt wieder:
[mm] $m_i(f):=inf\{f(x)|x\in[x_i_-_1,x_i]\}$ [/mm] ?
Okay dann versuch ich mal das ganze zu formulieren, ohne vorauszusetzen, dass [mm] $\(u$ [/mm] und [mm] $\(v$ [/mm] Stützpunkte sind:
Sei oBdA [mm] $x_\xi_-_1< u\le\x_\xi$ [/mm] und [mm] $x_\delta_-_1< v\le x_\delta$
[/mm]
Dann ist [mm] $S^o(f,P)=\summe_{i=1}^{\xi}m_i(f)*\Delta x_i +\summe_{i=\xi}^{\delta}m_i(f)*\Delta x_i+\summe_{i=\delta}^{n}m_i(f)*\Delta x_i=S^o(f,P_a^u)+S^o(f,P_u^v)+S^o(f,P_v^b)$
[/mm]
Vielleicht erkläre ich mal kurz warum ich auf die Schreibweise raus möchte:
Ich will zeigen, dass wenn eine Funktion [mm] $f[a,b]\to\IR$ [/mm] R-intergrierbar ist, dass sie dann auch auf dem Intervall [mm] $[u,v]\subset[a,b]$ [/mm] R-integrierbar ist.
Ich bin jetzt eigentlich schon soweit gewesen, dass ich auf die Ungleichung
[mm] $S^o(f,P_u^v)-S_u(f,P_u^v)\le S^o(f,P_a^b)-S_u(f,P_a^b)$
[/mm]
gekommen bin, aus der ja direkt die R.intergrierbarkeit folgt.
Nur dann habe ich mir Gedanken gemacht ob ich das mit der Aufteilung der Summen so einfach machen kann...
Ist mein jetziger Versuch besser?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mo 27.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) bei der Obersumme steht aber bei [mm] m_i [/mm] nicht das inf, sonst wär sie ja gleich der Untersumme?
sonst ist dein vorgehen ok.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:18 Di 28.06.2011 | | Autor: | nhard |
Oh ja stimmt natürlich, bei der Obersumme steht das Supremum..
Vielen Dank :)
Gruß
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