matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikPascal-Verteilung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Stochastik" - Pascal-Verteilung
Pascal-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Pascal-Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 So 11.01.2015
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] unabhängige Zufallsvariablen, wobei welche [mm] pasc(r_i,p)-verteilt [/mm] seien mit [mm] r_i\in\IN [/mm] für i=1,2 und [mm] p\in(0,1). [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] X_1+X_2 [/mm] dann [mm] pasc(r_1+r_2,p)-verteilt [/mm] ist. Wie ist [mm] X_1 [/mm] gegeben [mm] X_1+X_2=l [/mm] für l [mm] \ge r_1+r_2 [/mm] verteilt?

Hallo!
Für den ersten Teil habe ich eine Lösung, die ich aber noch nicht ganz nachvollziehen kann. Vielleicht kann mir dabei jemand helfen? :-)

[mm] P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\}) [/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\}) [/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2} [/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1} [/mm]
[mm] =p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1} [/mm]
[mm] =p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1} [/mm]

Die erste Zeile verstehe ich noch,
aber schon bei der zweiten hakt es:
Warum erhalte ich [mm] =\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\}) [/mm] ?
Ich hätte eher gedacht, dass ich mit Poincaré die Vereinigung auseinanderziehen kann, was aber sehr unhandlich geworden wäre...

Der nächste Schritt ist dann einfach die "Übersetzung" von den Wahrscheinlichkeiten in ihre Pascal-Verteilungen.
Dann kommt die Umordnung und das Zusammenfassen und die nicht von i abhängigen Teile werden herausgezogen.
So weit so klar.

Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?

Außerdem: muss die Summe nicht bei i=1 starten, denn mit i=0 haben wir negative Einträge im Binomialkoeffizienten!

Es wäre toll, wenn mir jemand helfen kann!
Grüßle, Lily

        
Bezug
Pascal-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 11.01.2015
Autor: luis52


>  Hallo!
>  Für den ersten Teil habe ich eine Lösung, die ich aber
> noch nicht ganz nachvollziehen kann. Vielleicht kann mir
> dabei jemand helfen? :-)
>  
> [mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2}[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>  
> [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>  
> [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1}[/mm]
>  
> Die erste Zeile verstehe ich noch,
>  aber schon bei der zweiten hakt es:
>  Warum erhalte ich [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]

[mm] $X_1,X_2$ [/mm] sind unabhaengig.

> ?
>  Ich hätte eher gedacht, dass ich mit Poincaré die
> Vereinigung auseinanderziehen kann, was aber sehr
> unhandlich geworden wäre...
>  
> Der nächste Schritt ist dann einfach die "Übersetzung"
> von den Wahrscheinlichkeiten in ihre Pascal-Verteilungen.
>  Dann kommt die Umordnung und das Zusammenfassen und die
> nicht von i abhängigen Teile werden herausgezogen.
>  So weit so klar.
>  
> Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?

Es gilt die alte Bauernregel:

[mm] $\sum_{i=0}^n\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}=\binom{N}{n}$ [/mm]

Sie bildet den Hintergrund der hypergeometrischen Verteilung.

>  
> Außerdem: muss die Summe nicht bei i=1 starten, denn mit
> i=0 haben wir negative Einträge im Binomialkoeffizienten!

In jenen Faellen wird der Binomialkoeffizient als Null definiert.




Bezug
                
Bezug
Pascal-Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mo 12.01.2015
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort!

> > [mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})[/mm]
>  >  
> > [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
>  >  
> > [mm]=\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1}[/mm]
>  
> >  

>  >  Warum erhalte ich [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
>
> [mm]X_1,X_2[/mm] sind unabhaengig.

Hm, leider kann ich damit noch nicht so viel anfangen.
Ich habe überlegt, ob das mit Poincaré zusammenhängt, aber ich komme auf keine Umformung wie ich vom einen zum anderen komme! :-/


>  

>  >  
> > Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?
>  
> Es gilt die alte Bauernregel:
>  
> [mm]\sum_{i=0}^n\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}=\binom{N}{n}[/mm]
>  

Also damit habe ich es versucht, komme dann aber auf:
[mm] \vektor{l-2 \\ r_1+r_2-2} [/mm]
das stimmt ja nicht...
(Darauf bin ich gekommen indem ich M=i-1 und [mm] i=r_1-1 [/mm] gesetzt habe und dann durch Einsetzen und Umformen.)

Könnte mir hier nochmal jemand helfen?
Das wäre klasse!
Grüßle, Lily

Bezug
                        
Bezug
Pascal-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:54 Di 13.01.2015
Autor: luis52


> Hallo!
>  Danke erstmal für deine Antwort!
>  
> > > [mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\})[/mm]
>  
> >  >  

> > > [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]=\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*p^{r_1}*(1-p)^{i-r_1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}*p^{r_2}*(1-p)^{l-i-r_2}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]=\summe_{i=0}^l p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\summe_{i=0}^l \vektor{i-1 \\ r_1-1}*\vektor{l-i-1 \\ r_2-1}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]=p^{r_1+r_2}*(1-p)^{l(r_1+r_2)}*\vektor{l-1 \\ r_1+r_2-1}[/mm]
>  
> >  

> > >  

>
> >  >  Warum erhalte ich [mm]=\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]

> >
> > [mm]X_1,X_2[/mm] sind unabhaengig.
>  
> Hm, leider kann ich damit noch nicht so viel anfangen.
>  Ich habe überlegt, ob das mit Poincaré zusammenhängt,
> aber ich komme auf keine Umformung wie ich vom einen zum
> anderen komme! :-/
>  

Oder ist dir die Gleichung

[mm]P({X_1+X_2=l})=P(\bigcup_{i=0}^{l}\{X_1=i, X_2=l-i\}) =\summe_{i=0}^l P(\{X_1=i\})*P(\{X_2=l-i\})[/mm]

unklar?  Das Ereignis [mm] $({X_1+X_2=l})$ [/mm] wird in die disjunkten  Ereignisse [mm] $(X_1=i, X_2=l-i)$ [/mm] zerlegt. Ferner wird die Unabhaengigkeit ausgenutzt ...





>
> >  

>
> >  >  

> > > Aber was ist diese letzte Umformung? Wie geht die?
>  >  
> > Es gilt die alte Bauernregel:
>  >  
> > [mm]\sum_{i=0}^n\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}=\binom{N}{n}[/mm]
>  >  
> Also damit habe ich es versucht, komme dann aber auf:
>  [mm]\vektor{l-2 \\ r_1+r_2-2}[/mm]
>  das stimmt ja nicht...

Du hast Recht, ich war mit meinem Tipp zu vorschnell. []Hier ist eine Stelle, wohin die Reise gehen sollte.


>  (Darauf bin ich gekommen indem ich M=i-1 und [mm]i=r_1-1[/mm]
> gesetzt habe und dann durch Einsetzen und Umformen.)
>  
> Könnte mir hier nochmal jemand helfen?
>  Das wäre klasse!

Kennst du den Begriff der momenterzeugenden Funktion? Damit wird der Nachweis wesentlich einfacher.



Bezug
                        
Bezug
Pascal-Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:11 Di 13.01.2015
Autor: luis52

Noch eine Idee: Vielleicht wird es schon einfacher, wenn du [mm] $r_2=1$ [/mm] annimmst (geometrische Verteilung).

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]