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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] (1+x+x^{2})^{n} [/mm] |
Hallo zusammen!
Wir haben in der Vorlesung die PAscal-Pyramide besprochen (3-dim) und dabei den Trinomialkoeffizienten:
[mm] \pmat{ n \\ i & j } [/mm] := n! / (i! j! (n-i-j)!)
Wir leiteten also folgendes her:
[mm] (a+b+c)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i+j+k=n} \pmat{ n \\ i & j } a^{i} b^{j} c^{k}
[/mm]
Nun sollte es eigentlich ein leichtes sein, die Aufgabe zu lösen. Das Problem ist dann nur, dass einige x-Potenzen mehrfach vorkommen. Ich glaube, das Ziel sollte sein zu jeder Potenz von x exakt einmal die Koeffizienten zu bestimmen, als [mm] \summe_{l=1}^{2n} x^{l} [/mm] * ....
Ich komme aber nur bis zu einem gewissen Punkt und nicht mehr weiter:
[mm] (1+x+x^{2})^{n}
[/mm]
[mm] =\summe_{i+j+k=n} \pmat{ n \\ i & j } x^{j+2k}
[/mm]
[mm] =\summe_{i+l-k=n} \pmat{ n \\ i & l-2k } x^{l}
[/mm]
[mm] =\summe_{i+l-k=n} \pmat{ n \\ i & l-2(i+l-n) } x^{l}
[/mm]
[mm] =\summe_{i+l-k=n} \pmat{ n \\ i & 2n-l-2i } x^{l}
[/mm]
nun würde ich gerne einen Schritt in der Art machen:
[mm] =\summe_{l=0}^{2n} x^{l} \summe_{???}^{???} [/mm] ???
Ich habe aber keine Ahnung, wie nun die Grenzen zu wählen sind. Zuerst dachte ich I00 bis n-l aber n-l wird ja negativ? Kann mir jemand weiterhelfen? Und stimmen meine ersten Überlegungen überhaupt?
Vielen Dank an alle
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Hallo Schokonascher,
> Berechnen Sie [mm](1+x+x^{2})^{n}[/mm]
> Hallo zusammen!
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> Wir haben in der Vorlesung die PAscal-Pyramide besprochen
> (3-dim) und dabei den Trinomialkoeffizienten:
>
> [mm]\pmat{ n \\ i & j }[/mm] := n! / (i! j! (n-i-j)!)
>
> Wir leiteten also folgendes her:
>
> [mm](a+b+c)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{i+j+k=n} \pmat{ n \\ i & j } a^{i} b^{j} c^{k}[/mm]
>
> Nun sollte es eigentlich ein leichtes sein, die Aufgabe zu
> lösen. Das Problem ist dann nur, dass einige x-Potenzen
> mehrfach vorkommen. Ich glaube, das Ziel sollte sein zu
> jeder Potenz von x exakt einmal die Koeffizienten zu
> bestimmen, als [mm]\summe_{l=1}^{2n} x^{l}[/mm] * ....
>
> Ich komme aber nur bis zu einem gewissen Punkt und nicht
> mehr weiter:
>
> [mm](1+x+x^{2})^{n}[/mm]
> [mm]=\summe_{i+j+k=n} \pmat{ n \\ i & j } x^{j+2k}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i+l-k=n} \pmat{ n \\ i & l-2k } x^{l}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i+l-k=n} \pmat{ n \\ i & l-2(i+l-n) } x^{l}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i+l-k=n} \pmat{ n \\ i & 2n-l-2i } x^{l}[/mm]
>
> nun würde ich gerne einen Schritt in der Art machen:
>
> [mm]=\summe_{l=0}^{2n} x^{l} \summe_{???}^{???}[/mm] ???
>
> Ich habe aber keine Ahnung, wie nun die Grenzen zu wählen
> sind. Zuerst dachte ich I00 bis n-l aber n-l wird ja
> negativ? Kann mir jemand weiterhelfen? Und stimmen meine
> ersten Überlegungen überhaupt?
Soweit ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibe Dir denn Trinomialkoeffizient ausführlicher hin:
[mm]\pmat{ n \\ i \ \left(2n-l-2i\right) }=\bruch{n!}{i!*\left(2n-l-2i\right)!*\left(i+l-n\right)!}[/mm]
Dann weisst Du das:
[mm]0 \le i \le n[/mm]
[mm]0 \le 2n-l-2i \le n[/mm]
[mm]0 \le i+l-n \le n [/mm]
Daraus erhältst Du die Grenzen für i.
>
> Vielen Dank an alle
Gruß
MathePower
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Danke für deine Hilfe!
Sorry, aber ich habs noch nicht ganz verstanden:
[mm] 0\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n
[mm] 0\le [/mm] 2n-l-2i [mm] \le [/mm] n
[mm] 0\le [/mm] i+l-n [mm] \le [/mm] n
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] i\le [/mm] (2n-l)/2
[mm] i\le [/mm] n
[mm] i\le [/mm] 2n-l
(n-l)/2 [mm] \le [/mm] i
0 [mm] \le [/mm] i
n-l [mm] \le [/mm] i
Mein Problem ist, dass n-l machmal kleiner oder grösser als 0 ist und 2n-l manchmal grösser oder kleiner als n. Könntest du mir nochmals helfen?
Danke und lieber Gruss
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Hallo Schokonascher,
> Danke für deine Hilfe!
> Sorry, aber ich habs noch nicht ganz verstanden:
>
> [mm]0\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
> [mm]0\le[/mm] 2n-l-2i [mm]\le[/mm] n
> [mm]0\le[/mm] i+l-n [mm]\le[/mm] n
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]i\le[/mm] (2n-l)/2
> [mm]i\le[/mm] n
> [mm]i\le[/mm] 2n-l
Hieraus ist ersichtlich, daß auf jeden Fall [mm] 2i \le 2n-l[/mm] sein muß, damit alle 3 Ungleichungen erfüllt werden.
>
> (n-l)/2 [mm]\le[/mm] i
> 0 [mm]\le[/mm] i
> n-l [mm]\le[/mm] i
Hier ist es leider nicht so einfach:
Aus [mm] n < l \Rightarrow n-l < 0[/mm], somit ist die Untergrenze für i = 0.
Für [mm] n \ge l [/mm] gilt hingegen folgendes:
[mm]n-l \ge 0, \bruch{n-l}{2} \ge 0[/mm]
Aus [mm]i \ge n-l \Rightarrow 2i \ge 2n-2l < 2n-l[/mm]
Somit gilt für [mm]n \ge l[/mm] die Untergrenze [mm]i=n-l[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass n-l machmal kleiner oder grösser als
> 0 ist und 2n-l manchmal grösser oder kleiner als n.
> Könntest du mir nochmals helfen?
>
> Danke und lieber Gruss
Gruß
MathePower
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Super, danke vielmals für die ausführliche Erklärung!
Lieber Gruss
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