Pascalsche Schnecke < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Die Pascalsche Schnecke ist als [mm] C=\vektor{(cost+1)*cost\\(cost+1)*sint} [/mm] gegeben.
t€[0,2pi]
Bestimmen Sie Kurvenlänge und Flächeninhalt. |
Hi Leute, hab' hier mal ne Frage.
Die Kurvenlänge ist [mm] \integral_{0}^{2pi}{|c'(t)|}
[/mm]
Die Stammfunktion lautet [mm] -2\sqrt{2-2cost} [/mm] Da kommt aber 0 raus, kann es sein, dass bei t=pi die Kurve nicht stetig oder so ist?
Wenn ich 2 Mal von 0 nach pi integriere bekomme ich jedenfalls 8 raus.
Wie berechne ich denn jetzt den Flächeninhalt? Die Kurve ist in Parameterdarstellung gegeben, aber ist nur von einem Parameter abhängig. Im [mm] R^3 [/mm] wüsste ich, wie ich das, da brauch' ich den Betrag des Normalenvektors (Kreuzprodukt der nach den Parametern differenzierten Vektoren), aber wie gehts hier?
Danke & schöne Grüße
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> Die Pascalsche Schnecke ist als
> [mm]C=\vektor{(cost+1)*cost\\(cost+1)*sint}[/mm] gegeben.
>
> t€[0,2pi]
>
> Bestimmen Sie Kurvenlänge und Flächeninhalt.
> Hi Leute, hab' hier mal ne Frage.
>
> Die Kurvenlänge ist [mm]\integral_{0}^{2pi}{|c'(t)|}[/mm]
>
> Die Stammfunktion lautet [mm]-2\sqrt{2-2cost}[/mm] Da kommt aber 0
> raus, kann es sein, dass bei t=pi die Kurve nicht stetig
> oder so ist?
Zeig doch mal deine Berechnung dieser Stammfunktion !
Stetig ist die Kurve übrigens durchwegs, also auch bei
[mm] t=\pi [/mm] .
> Wenn ich 2 Mal von 0 nach pi integriere bekomme ich
> jedenfalls 8 raus.
>
> Wie berechne ich denn jetzt den Flächeninhalt? Die Kurve
> ist in Parameterdarstellung gegeben, aber ist nur von einem
> Parameter abhängig. Im [mm]R^3[/mm] wüsste ich, wie ich das, da
> brauch' ich den Betrag des Normalenvektors (Kreuzprodukt
> der nach den Parametern differenzierten Vektoren), aber wie
> gehts hier?
Ich würde dir vorschlagen, aus der gegebenen Parameterdar-
stellung zuerst eine gewöhnliche Polardarstellung zu machen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kappen |
Gerne gerne:
[mm] c'=\vektor{-sinx(cosx+1)\\-sin^2x+cosx(cosx+1)}
[/mm]
|c'|= nach diversen Klammern, und bisschen pythagoras : [mm] \sqrt{2+2cosx}
[/mm]
also [mm] \integral_{}^{}{\sqrt{2}*\sqrt{1+cosx} dx}
[/mm]
u=cosx
u'=-sinx
[mm] -\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\sqrt{1+u}\bruch{1}{sinx} du} [/mm] = [mm] -\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\sqrt{1+u}\bruch{1}{\sqrt{1-cos^2x}} du}= -\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\sqrt{1+u}\bruch{1}{\sqrt{1-u^2}} dx} [/mm] = [mm] -\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\sqrt{1-u}} dx}={2*\sqrt2*\sqrt{1-cosx}+c }
[/mm]
Oder sehe ich da was falsch ? =)
Mit gewöhnlicher Polardarstellung meinst du "normale" Polarkoodinaten oder wie ist das gemeint?
Danke & schöne Grüße !
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Hallo kappen,
> Gerne gerne:
>
> [mm]c'=\vektor{-sinx(cosx+1)\\-sin^2x+cosx(cosx+1)}[/mm]
Hier hast Du eine "2" vergessen:
[mm]c'=\vektor{-sinx(\red{2}cosx+1)\\-sin^2x+cosx(cosx+1)}[/mm]
> |c'|= nach diversen Klammern, und bisschen pythagoras :
> [mm]\sqrt{2+2cosx}[/mm]
Ok, das stimmt.
>
> also [mm]\integral_{}^{}{\sqrt{2}*\sqrt{1+cosx} dx}[/mm]
Vereinfache zunächst [mm]\wurzel{1+\cos\left(x\right)}[/mm]
gemäß den entsprechenden trigonometrischen Additonstheoremen.
>
> u=cosx
> u'=-sinx
>
> [mm]-\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\sqrt{1+u}\bruch{1}{sinx} du}[/mm] =
> [mm]-\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\sqrt{1+u}\bruch{1}{\sqrt{1-cos^2x}} du}= -\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\sqrt{1+u}\bruch{1}{\sqrt{1-u^2}} dx}[/mm]
> = [mm]-\sqrt{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\sqrt{1-u}} dx}={2*\sqrt2*\sqrt{1-cosx}+c }[/mm]
So kannst das natürlich auch machen.
>
> Oder sehe ich da was falsch ? =)
>
Nein, ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit gewöhnlicher Polardarstellung meinst du "normale"
> Polarkoodinaten oder wie ist das gemeint?
>
> Danke & schöne Grüße !
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kappen |
Okay gut, aber wenn ich jetzt von 0 bis 2pi integriere, wird der cosinus jeweils und damit die Klammer 0, also alles 0?
Edit: wie könnte ich denn eigentlich [mm] \sqrt{1+cosx} [/mm] vereinfachen?
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Hallo kappen,
> Okay gut, aber wenn ich jetzt von 0 bis 2pi integriere,
> wird der cosinus jeweils und damit die Klammer 0, also
> alles 0?
Nein.
Beim genaueren Betrachten der Kurve stellst Du fest,
daß diese symmetrisch zur x-Achse ist.
Halbiere daher das Intervall und berechne
dementsprechend auch die halbe Bogenlänge.
>
> Edit: wie könnte ich denn eigentlich [mm]\sqrt{1+cosx}[/mm]
> vereinfachen?
Gemäß den Halbwinkelformeln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kappen |
Ist die Funktion nicht zur y-Achse symmetrisch? Wenns zur x-Achse wäre, könnte ichs ja verstehen. Es liegt hier doch auch alles oberhalb der x-Achse, die Nullstelle liegt bei pi, wieso kann ich nicht einfach über das gesamte Intervall integrieren?!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*sqrt%282-2cosx%29
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Hallo kappen,
> Ist die Funktion nicht zur y-Achse symmetrisch? Wenns zur
> x-Achse wäre, könnte ichs ja verstehen. Es liegt hier
> doch auch alles oberhalb der x-Achse, die Nullstelle liegt
> bei pi, wieso kann ich nicht einfach über das gesamte
> Intervall integrieren?!
Die Umformung in diesem Artikel
[mm]\sin\left(x\right)=\wurzel{1+\cos^{2}\left(x\right)}[/mm]
gilt nur, wenn [mm]\sin\left(x\right) \ge 0[/mm] ist, und
das ist genau im Intervall [mm]\left[0,\pi\right][/mm]
Für das Intervall [mm]\left[\pi,2\pi\right][/mm] gilt, da [mm]\sin\left(x\right) \le 0[/mm],
die Umformung
[mm]\sin\left(x\right)=\blue{-}\wurzel{1+\cos^{2}\left(x\right)}[/mm]
Damit sind auch zwei Integrale zu berechnen.
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*sqrt%282-2cosx%29
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kappen |
Genial, danke.
Erscheint schlüssig ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 04.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Al:
1. Zur Kontrolle:die Kurvenlänge ist = [mm] \integral_{0}^{ 2 \pi}{\wurzel{2+2cos(t)} dt}
[/mm]
2. Den Flächen inhalt erhälst Du8 über das Wegintegral
[mm] $\bruch{1}{2}*\integral_{C}^{}{xdy -ydx}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kappen |
> Ergänzend zu Al:
>
> 1. Zur Kontrolle:die Kurvenlänge ist = [mm]\integral_{0}^{ 2 \pi}{\wurzel{2+2cos(t)} dt}[/mm]
>
Jojo
> 2. Den Flächen inhalt erhälst Du8 über das Wegintegral
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{C}^{}{xdy -ydx}[/mm]
>
Sorry, wieso das?
Wie schreibe ich die Parametrisierung am besten um?
Danke & schöne Grüße
> FRED
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> > 2. Den Flächeninhalt erhälst Du über das Wegintegral
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{C}^{}{x\,dy -y\,dx}[/mm]
> >
> Sorry, wieso das?
Diese Formel für den Flächeninhalt kann man sich beispiels-
weise folgendermaßen plausibel machen:
Wenn wir den Weg der Kurve entlang (einmal rundum) in
winzige Stücklein zerlegen, welche abwechselnd in x- und
in y-Richtung erfolgen, so sind die kleinen Inkremente des
Flächeninhaltes Flächeninhalte von Dreiecken mit einer
Basis der Länge [mm] \Delta{x} [/mm] bzw. [mm] \Delta{y} [/mm] und mit Spitze in (0/0).
Mit den richtigen Vorzeichen versehen (das mit dem Umlauf-
sinn der Kurve zu tun hat) ist der Flächeninhalt eines solchen
Dreiecks entweder [mm] \frac{1}{2}*\Delta{y}*x [/mm] oder aber [mm] \frac{1}{2}*\Delta{x}*(-y)
[/mm]
Durch den Grenzübergang der entsprechenden Summen für
[mm] \Delta{x}\to{0} [/mm] und [mm] \Delta{y}\to{0} [/mm] entsteht daraus die Integralformel.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 07.10.2010 | | Autor: | kappen |
Hier nochmal ne Frage,
kann ich aus dieserer Parametrisierung ein schlichtes Gebiet machen? Einfach als Funktion darstellen?
Oder ich könnte doch auch über Polarkoordinaten integrieren? Ich sehe, dass r=cost+1 ist, also Flächenelement [mm] r*d\phi*dr [/mm] mit [mm] 0\le\phi\le [/mm] 2pi und [mm] 0\le r\le [/mm] cost+1 oder funktioniert das so nicht?
Schöne Grüße & danke!
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> Hier nochmal ne Frage,
>
> kann ich aus dieserer Parametrisierung ein schlichtes
> Gebiet machen? Einfach als Funktion darstellen?
>
> Oder ich könnte doch auch über Polarkoordinaten
> integrieren? Ich sehe, dass r=cost+1 ist, also
> Flächenelement [mm]r*d\phi*dr[/mm] mit [mm]0\le\phi\le[/mm] 2pi und [mm]0\le r\le[/mm]
> cost+1 oder funktioniert das so nicht?
>
> Schöne Grüße & danke!
Natürlich geht das mittels Polarkoordinaten ganz gut.
Cartesische Koordinaten zu nehmen, also y=f(x) etc.
ist aber wohl keine gute Idee.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 07.10.2010 | | Autor: | kappen |
Auch, wenn es schwer auszurechnen ist (oder warum sind kartesische Koordinaten unglücklich?), wie würde ich das denn umschreiben? Konkret, wie geht das?
Ist das Integral mit den Grenzen, die ich im letzten Post hingeschrieben habe denn so richtig?
Nochmal zu "deiner" Formel, das sieht so aus, als wäre das ein Skalarprodukt mit einem Normalenvektor. Wo genau kommt die Formel her?
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Hallo kappen,
> Auch, wenn es schwer auszurechnen ist (oder warum sind
> kartesische Koordinaten unglücklich?), wie würde ich das
> denn umschreiben? Konkret, wie geht das?
Um von der Polardarstellung
$ r(t)=\ 1+cos(t) $
zu einer kartesischen Darstellung zu kommen, müsste man
das t eliminieren. Dazu setzt man
$\ r(t)\ =\ [mm] \sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
und
$\ cos(t)\ =\ [mm] \frac{x}{r}\ [/mm] =\ [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ [/mm]
Setz das mal ein, erfreue dich der entstehenden Gleichung
und schau, wie du sie nach y oder nach x auflösen willst ! 
Es geht, aber die Behandlung in Polarkoordinaten ist doch
deutlich angenehmer.
> Ist das Integral mit den Grenzen, die ich im letzten Post
> hingeschrieben habe denn so richtig?
Ich denke, das war goldrichtig. Rechne es mal durch !
> Nochmal zu "deiner" Formel, das sieht so aus, als wäre das
> ein Skalarprodukt mit einem Normalenvektor. Wo genau kommt
> die Formel her?
Du meinst wohl den Integranden [mm] \frac{1}{2}*(x\,dy\,-\,y\,dx) [/mm] , oder ?
Da drin kann man tatsächlich ein Produkt sehen, nämlich
ein Vektorprodukt. Betrachten wir den Ortsvektor
[mm] $\overrightarrow{OP}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{x\\y}$ [/mm] eines Kurvenpunktes P
sowie den differentiellen Vektor [mm] \vektor{dx\\dy}, [/mm] welcher einen
infinitesimalen Schritt von P aus der Kurve entlang
darstellt. Der vom Ortsvektor bei diesem infinitesimalen
Schritt überstrichene Flächeninhalt $dA$ kann dann als
Dreiecksflächeninhalt berechnet werden als der halbierte
Betrag des Vektorproduktes der beiden Seitenvektoren
[mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] und [mm] $\vektor{dx\\dy}$ [/mm] des Dreiecks. Dies ist jetzt natürlich ein
wenig salopp erklärt, ließe sich aber auch exakt darstellen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Do 07.10.2010 | | Autor: | kappen |
Ah supi :)
Dankeschön, werd jetzt Ende machen, morgen gibts Klausur =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Sa 09.10.2010 | | Autor: | kappen |
Pascalsche Schnecke kam nicht dran ;) :(
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