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| Aufgabe | Wir kennen die natürlichen Zahlen, die mit Hilfe der Peano-Axiome als Kette aufgefasst werden können (ich beginne mit 1, manche mit 0, das spielt hier keine Rolle):
[mm] 1\to2\to3\to4\to5\to...
[/mm]
Welches Axiom garantiert mir, dass man die natürlichen Zahlen nicht als Menge von zwei (oder mehr) Ketten auffassen kann, z.B.
[mm] 1\to2\to3\to4\to5\to... [/mm] und [mm] a\to b\to c\to d\to e\to... [/mm] ,
die miteinander gar nichts zu tun haben. In der zweiten Kette hat auch jedes Element einen eindeutigen Nachfolger. |
Muss man die Axiome nicht ergänzen mit
Jedes Element aus [mm] \IN [/mm] außer 1 hat einen Vorgänger
Das träfe dann auf a nicht zu, folglich könnte die zweite Kette nicht existieren.
Ich kann auch mit Hilfe des Axioms der vollst. Induktion hier keinen Widerspruch zu 2 Ketten erkennen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mi 29.03.2023 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wir kennen die natürlichen Zahlen, die mit Hilfe der
> Peano-Axiome als Kette aufgefasst werden können (ich
> beginne mit 1, manche mit 0, das spielt hier keine Rolle):
>
> [mm]1\to2\to3\to4\to5\to...[/mm]
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> Welches Axiom garantiert mir, dass man die natürlichen
> Zahlen nicht als Menge von zwei (oder mehr) Ketten
> auffassen kann, z.B.
>
> [mm]1\to2\to3\to4\to5\to...[/mm] und [mm]a\to b\to c\to d\to e\to...[/mm]
> ,
>
> die miteinander gar nichts zu tun haben. In der zweiten
> Kette hat auch jedes Element einen eindeutigen Nachfolger.
>
> Muss man die Axiome nicht ergänzen mit
>
> Jedes Element aus [mm]\IN[/mm] außer 1 hat einen Vorgänger
>
> Das träfe dann auf a nicht zu, folglich könnte die zweite
> Kette nicht existieren.
>
> Ich kann auch mit Hilfe des Axioms der vollst. Induktion
> hier keinen Widerspruch zu 2 Ketten erkennen.
Die beiden Ketten haben sehr wohl miteinander zu tun, es gibt nämlich eine eindeutig bestimmte strukturerhaltende bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen.
Und das erste Peano-Axiom sagt, daß 1 [mm] \in \IN [/mm] sein muß. Das ist in der 2. Kette so erst einmal nicht der Fall.
Wenn ich nicht die arabischen Ziffern, sondern die Zahlworte verwende, sehen die natürlichen Zahlen in F oder I auch anders aus als in D.
Die Problematik entsteht also dadurch, daß ich zwischen dem Ding an sich und seinem Namen unterscheiden muß. Das versuche ich Nachhilfeschülern auch gelegentlich zu erklären, daß eine Funktion nicht unbedingt f heißen muß, sondern auch Meyer oder Lehmann heißen könnte, also z. B. Meyer(x) = [mm] x^2 [/mm] und Meyer'(x) = 2x.
Ich habe zu diesem Thema gerade noch den Isomorphiesatz von Dedekind gefunden.
Gruß Dieter
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Hallo Dieter,
> Die beiden Ketten haben sehr wohl miteinander zu tun, es
> gibt nämlich eine eindeutig bestimmte strukturerhaltende
> bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen.
Es geht mir nicht darum, dass es eine zweite Menge mit denselben Eigenschaften wie die der natürlichen Zahlen gibt, bei denen die Elemente nur anders heißen. Ich behaupte einfach, dass [mm] \IN [/mm] selber aus den beiden Ketten besteht, also [mm] \IN [/mm] = [mm] \{1,2,3,....\}\cup\{a,b,c,d,...\}, [/mm] wobei die Nachfolgeeigenschaft von mir durch Pfeile angedeutet wird. Ich behaupte, dass [mm] \IN [/mm] so aussieht und die Peano-Axiome erfüllt. Ich suche eine Widerlegung mit Hilfe der Peano-Axiome. Die erste Kette hat die Besonderheit, dass sie die im Axiom erwähnte 1 enthält. 1 ist auch nicht Nachfolger einer Zahl, und alle Elemente haben einen eindeutigen Nachfolger.
Das Problem würde sich sofort erledigen, wenn es heißen würde: 1 ist die EINZIGE Zahl, die kein Nachfolger einer anderen ist. Das träfe auf a nicht zu, und die zweite Kette könnte nicht existieren. Aber so heißt das Axiom ja nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mi 29.03.2023 | | Autor: | statler |
Dein Gedankengang ist mir jetzt klarer. Du hast die beiden Mengen [mm] \IN_{norm} [/mm] = [mm] \{1, 2, ... \} [/mm] und [mm] \IN_{erw} [/mm] = [mm] \{1, 2, ... , a, b, ... \}.
[/mm]
Wenn für beide Mengen das Induktionsaxiom gilt, sind sie gegenseitig ineinander enthalten, also gleich. Oder?
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Nein, ich versuche, nur mit Hilfe der P.-Axiome die Menge [mm] \IN [/mm] zu kreieren. Dabei müssten die Axiome so gebaut sein, dass keine falsche Menge entstehen kann, denn sonst gäbe es echt verschiedene Mengen [mm] \IN.
[/mm]
Stellen wir uns vor, A nennt B die Peano-Axiome, und B wendet sie so an, dass sie der Reihe nach erfüllt werden, stellt sich dabei aber unwissend an. Er müsste dann auf [mm] \IN [/mm] stoßen.
A: 1 ist in [mm] \IN.
[/mm]
B: Dann könnte das [mm] \IN [/mm] sein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
A: Nein, denn jedes Element aus [mm] \IN [/mm] hat genau einen Nachfolger.
B: Dann könnte das [mm] \IN [/mm] sein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
A: Nein, denn 1 ist nicht Nachfolger einer Zahl aus [mm] \IN.
[/mm]
B: Dann könnte das [mm] \IN [/mm] sein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
A: Nein, denn wenn zwei Zahlen denselben Nachfolger haben, sind sie identisch. Das heißt: Keine Zahl ist gleichzeitig Nachfolger von zwei verschiedenen Zahlen. Das ist aber bei 2 der Fall.
B: Dann könnte das [mm] \IN [/mm] sein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
A: Nein, denn ....???
Was kommt jetzt für ein Argument, dass das nicht [mm] \IN [/mm] sein kann?
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Do 30.03.2023 | | Autor: | statler |
Im letzten Bild taucht die 14 2mal auf, das hast du wohl einfach übersehen, weil sie so Nachfolger von 13 und von 25 ist, was nicht sein darf. Das kann man aber leicht beheben, indem man die obere Kette bei 13 enden läßt.
Das Gegenargument folgt dann daraus, daß der Vorschlag von B so (über die Nachfolger-Beziehung) nicht wohlgeordnet ist, was für [mm] \IN [/mm] eben auch mittels vollständiger Induktion bewiesen werden kann, siehe z. B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Nachtrag:
A ist ein schlaues Kerlchen und sagt: In der Menge {1, 2, ... , 13, 26, 27, ... } liegen die 1 und mit jedem Element auch sein Nachfolger, also sind alle natürlichen Zahlen bereits darin enthalten, also steht da bei dir lieber B allerlei überflüssiges Zeug.
Den verlinkten Beweis habe ich noch nicht ganz durchdrungen wegen der für mich unklaren Definition von E(n).
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Der Beweis geht davon aus, dass [mm] \IN [/mm] total geordnet ist, was ja dann zuerst zu beweisen wäre.
Ich glaube aber, mit Hilfe der Beweisidee verstanden zu haben, wie man beweist, dass meine Menge nicht funktioniert.
Bleiben wir in meinem Bild.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir definieren die Eigenschaft a [mm] \ge [/mm] b:
Für a und b [mm] \in \IN [/mm] gelte: a [mm] \ge [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a = b oder man kann in einer von mir gezeichneten Kette, die a enthält, von a irgendwann "vorwärts" zu b gelangen.
In der oberen Kette sind damit alle Elemente [mm] \ge [/mm] 1, wie wir das kennen.
In der unteren linken Kette gilt für jedes Zahlenpaar a und b: a [mm] \ge [/mm] b, weil man von jeder Zahl über die Pfeile zu jeder anderen gelangen kann. Dasselbe gilt für die kleine rechte Kette.
Über die Paare 1 und 15 oder 5 und 24 kann man keine Aussage treffen, da sie kettenmäßig nichts miteinander zu tun haben.
Jetzt beweisen wir: x [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
(soll heißen: alle Zahlen lassen sich als x [mm] \ge [/mm] 1 schreiben und sind daher Mitglied der oberen Kette)
Für 1 gilt die Behauptung per definitionem.
Sei nun n [mm] \in \IN. [/mm] Jetzt müssen wir für n nicht beweisen, dass n [mm] \ge [/mm] 1 ist was für die beiden unteren Ketten ja auch nicht stimmt, sondern dürfen dies voraussetzen! Also: Ist n [mm] \in \IN, [/mm] dann ist n [mm] \ge [/mm] 1, also in der oberen Kette; damit aber auch sein Nachfolger, also ist auch dieser in der Kette und [mm] \ge [/mm] 1.
Was nun? Für obiges Bild stimmt das ja nicht.
1. Fall: Das Axiom der vollst. Induktionfunktioniert nicht. Es ist aber ein Axiom und muss daher funktionieren.
2. Fall: Die Elemente in den unteren Ketten sind gar nicht aus [mm] \IN. [/mm] Damit das Axiom der vollst. Induktion funktionieren kann, müssen weitere Kettten aus [mm] \IN [/mm] entfernt werden. [mm] \IN [/mm] besteht also nur aus einer Kette.
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Der Beweis lässt sich noch völlig reduzieren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Definition: a ist in der Kette von 1 bedeute: a = 1 oder man kann von 1 ausgehend zu a gelangen, wenn man von Folgeglied zu Folgeglied weiterschreitet. Bildlich: a ist in der oberen Kette.
Behauptung: Alle n [mm] \in \IN [/mm] sind in der Kette von 1.
Beweis:
1 ist in der Kette von 1.
Wenn n in der Kette von 1 ist, kann man von 1 zu n und dann auch zum Nachfolger von n gelangen. Also ist auch der Nachfolger in der Kette von 1.
Da dieses Axiom die Menge [mm] \IN [/mm] mitdefiniert, kann es in [mm] \IN [/mm] keine weitere Kette geben, und die gezeigte Menge kann nicht [mm] \IN [/mm] sein.
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