Periodische Schwankungen (DGL) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Leute,
ich habe hier noch eine Aufgabe, mit der ich echt nicht klarkomme. Bitte helft mir. Ich wäre Euch echt dankbar dafür :)
Folgendes:
Ein Botenstoff wird im Körper mit einer Rate abgebaut, die proportional zur Konzentration c im Blut ist. Gebildet wird dieser Substanz mit einer tageszeitlich schwankender Rate, die sich durch cos(t) + 1 gut beschreiben lässt.
a.) Erstelle eine Differentialgleichung auf, die die gesamte Änderung der Konzentration [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] c (Bildung und Abbau) beschreibt.
Also bis hierhin glaube ich zu können. Die Gleichung müsste ja so aussehen oder:
[mm] \bruch{d}{dt} [/mm] c= cos(t)+1 - k* c(t), dabei ist ja k der Proportionalitätsfaktor zur Konzentration c im Blut. Ist das so richtig?
b.) Finde eine homogene Lösung [mm] c_{H} [/mm] (t) für einen Anfangswert von c(t=0)=C. Da komme ich nicht mehr klar. soll ich denn etwa in meine Gleichung alles für t=0 einsetzen? würde das dann bedeuten, dass:
für t=0: [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] c= cos(0)+1- k*c(0)
=> [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] c= 1 +1- k*C
=> [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] c= 2 - K
=> [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] c= K* (wobei K, K* ja einfach irgendein konstanter Wert ist). Ist dieser Ansatz richtig? Oder wie bekomme ich diese homogene Lösung?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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Hallo Susi,
soweit ich das gelernt habe, können Differentialgleichungen homogen sein, nicht aber Lösungen. Gemeint ist also vermutlich:
b) finden Sie eine Lösung der homogenen Dgl. mit dem Anfangswert [mm] $c(0)=c_0$!
[/mm]
Homogen heißt eine Dgl. wenn in ihr nur die gesuchte Funktion und deren Ableitungen vorkommen. Also keine additiven Konstanten oder Ausdrücke, die von der unabhängigen Variablen, aber nicht [mm] $y^{(n)}$ [/mm] abhängen.
Da Du Teil a) der Aufgabe gelöst hast ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") , kannst Du daraus ersehen, dass die homogene Dgl. [mm] $\bruch{d}{dt}c(t)=-k*c(t)$ [/mm] lautet, denn weder $1$ noch [mm] $\cos(t)$ [/mm] hängen von $c(t)$ ab. Diese Dgl. solltest Du lösen können. Diese Lösung soll dann schon der Anfangsbedingung [mm] $c(0)=c_0$ [/mm] genügen.
Hast Du die Lösung der homogenen Dgl. ermittelt, so kannst Du durch Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der (ursprünglichen) Dgl. finden.
Viel Erfolg,
Peter
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Vielen Dank für Deine Antwort Peter.
Also wenn ich die DGL löse, würde ich doch c(t)= k* [mm] e^{-t} [/mm] bekommen, oder?
Denn bei c(0)= [mm] c_{0} [/mm] = k. Ist das so? Ich dachte mir nämlich, dass man ja auch c(t)= [mm] e^{-k*t} [/mm] setzen könnte. Dann bekommt man ja für c(0) =1 raus. Die 1 hier ist doch auch ne Konstante oder?
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Hi Susi,
> Vielen Dank für Deine Antwort Peter.
> Also wenn ich die DGL löse, würde ich doch c(t)= k* [mm]e^{-t}[/mm]
> bekommen, oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich habe versucht, Dir bei Deiner anderen Aufgabe eine Lösungsmethode vorzuführen. Falls ich mich verständlich ausgedrückt haben sollte (unwahrscheinlich), kannst Du diese Methode hier auch anwenden, um auf [mm] $c(t)=c_{0}*e^{-k*t}$ [/mm] zu kommen.
> Denn bei c(0)= [mm]c_{0}[/mm] = k. Ist das so?
leider nein. k ist ein Maß für die Geschwindigkeit des Abbaus der fraglichen Substanz (Masse/(Zeit*Volumen), $c(0)$ ist die Konzentration (Masse/Volumen) zum Zeitpunkt t=0.
> Ich dachte mir nämlich, dass man ja auch c(t)= [mm]e^{-k*t}[/mm] setzen könnte.
> Dann bekommt man ja für c(0) =1 raus. Die 1 hier ist doch
> auch ne Konstante oder?
Natürlich ist 1 eine Konstante ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") , aber mit dem Ansatz $c(t)= [mm] e^{-k\cdot{}t} [/mm] $ erhältst Du falls [mm] $c_0 \not=1$ [/mm] ist, niemals nie nicht [mm] $c(0)=c_0$.
[/mm]
Gruß,
Peter
P.S.: weil diese Aufgabe kniffliger ist, als Deine andere, hier zur Kontrolle Deiner Rechnung die Lösung:
[mm] $c(t)=\bruch{k\cos(t)+\sin(t)}{k^{2}+1}+\bruch{1}{k}+e^{-k*t}\left(c_{0}-\bruch{2k^{2}+1}{k(k^2+1)}\right)$
[/mm]
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Nochamals auch hier vielen Dank Peter.
Ich habe nochmal nachgerechnet und kam auch auf das Ergebnis von Dir.
Weiter so :D
Schöne Grüße,
Susi
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