Periodizität Markovkette < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:24 So 02.11.2014 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ [/mm] ein Markovprozess mit diskretem Zustandsraum $E$ und Übergangsmatrix $P$. Sei [mm] $C\subseteq [/mm] E$ eine kommunizierende Klasse ('communicating class').
Man beweise (oder widerlege) folgende Aussage.
$C$ ist periodisch mit Periode $p>1$, wenn $C$ derart in disjunkte Mengen [mm] $C_0\cup\ldots\cup C_{p-1}$ [/mm] zerlegt werden kann, dass, wenn [mm] $i\in C_n$ [/mm] und [mm] $j\in C_m$ [/mm] mit [mm] $m\neq n+1\text{ mod }p$, $p_{ij}=0$.
[/mm]
Unterscheide die Fälle
(a) $E$ is endlich.
(b) $E$ ist abzählbar unendlich. |
Hallo und einen schönen Sonntag!
So einfach finde ich das nicht, aber versucht habe ich mich schon.
(a) Sei $E$ endlich.
Dann gilt [mm] $1\leqslant p<\infty$, [/mm] denn es kann nicht unendlich viele der disjunkten Mengen, aber nur endlich viele Zustände geben.
Ist $p=1$, dann gibt es keine derartige Zerlegung von $C$.
Ist $p>1$, dann liegt ein beliebiger Zustand [mm] $i\in [/mm] C$ in genau einer der Mengen [mm] $C_k$. [/mm] Aufgrund der gegebenen Zerlegung braucht es [mm] $\ell\cdot [/mm] p, [mm] \ell\geq [/mm] 1$ Schritte, um von $i$ nach $i$ zurückzukehren, darum gilt [mm] $R(i):=\left\{n > 0: p_{ii}^{(n)}>0\right\}=\left\{kp: k\geq 1\right\}$. [/mm] Somit gilt $p(i)=ggT(R(i))=p>1$.
Das heißt $p(C)=p(i)>1$. Die Aussage gilt also.
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Nun sei $E$ abzählbar unendlich.
Hier ist nun meines Erachtens das "Problem", dass [mm] $p\to\infty$ [/mm] möglich ist.
Man denke etwa an die natürlichen Zahlen, d.h. man betrachte [mm] $C_0:=\left\{1\right\}$ [/mm] und [mm] $C_k:=\left\{k\right\}$ [/mm] für [mm] $k\geq [/mm] 2$. Weiter gelte für den Zustand $i$ in [mm] $\lim_{k\to\infty}C_k$, [/mm] dass [mm] $i\rightarrow [/mm] 1$ ("i leads to 1").
Dann hat man m.E. die Situation vorliegen, eine Zerlegung von $C$ zu haben, wie sie in der Aufgabe gefordet ist; jedoch gilt [mm] $p(C)=\infty$, [/mm] was m.E. doch etwas Anderes bedeutet als $p(C)>1$, oder?
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Freue mich, wenn mir jemand weiter hilft.
VG
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 So 02.11.2014 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe meinen Beweis (genauer: Beweisversuch) geändert.
Über ein Feedback würde ich mich freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 04.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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