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Forum "Diskrete Mathematik" - Permutation
Permutation < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Permutation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Di 16.05.2006
Autor: Frankster

Aufgabe
Die Permutation [mm] \pi_{1},\pi_{2} \in S_{8} [/mm] sind Zyklendarstellungen gegeben durch

[mm] \pi_{1} [/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)

[mm] \pi_{2} [/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)

Berechnen Sie die Zyklendarstellung von
(a) [mm] \pi_{1}^{-1} [/mm]
(b) [mm] \pi_{2}^{-1} [/mm]
(c) [mm] \pi_{2}\circ\pi_{1} [/mm]

Ich würde jetzt hergehen und diese Zyklenschreibweise in eine Permutatiosschreibweise umändern

[mm] \pi_{1} [/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 4 & 1 & 5 & 7 & 6 & 2 } [/mm]


[mm] \pi_{2} [/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6 } [/mm]

(a)
[mm] \pi_{1}^{-1} [/mm]

(3 8 4 1 5 7 6 2) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 4 2 1 3 5 6 7 8
In Zyklenschreibweise
(1 4 3)(2)(5)(6)(7)(8)

(b)
[mm] \pi_{2}^{-1} [/mm]

(4 1 7 8 3 2 5 6) o (4 1 7 8 3 2 5 6) = 8 4 5 6 7 1 3 2
In Zylendarstellung:
(1 8 2 4 6)(3 5 7)

(c)
[mm] \pi_{2}\circ\pi_{1} [/mm]

(4 1 7 8 3 2 5 6) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 7 6 8 4 3 5 2 1
In Zylendarstellung:
(1 7 2 6 5 3 8)(4)

Stimmt das ?

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[]Winf-Forum

Mfg
Frankster

        
Bezug
Permutation: nachgerechnet
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Di 16.05.2006
Autor: statler

Mahlzeit Frankster!

> Die Permutation [mm]\pi_{1},\pi_{2} \in S_{8}[/mm] sind
> Zyklendarstellungen gegeben durch
>  
> [mm]\pi_{1}[/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)
>  
> [mm]\pi_{2}[/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)
>  
> Berechnen Sie die Zyklendarstellung von
>  (a) [mm]\pi_{1}^{-1}[/mm]
>  (b) [mm]\pi_{2}^{-1}[/mm]
>  (c) [mm]\pi_{2}\circ\pi_{1}[/mm]
>  Ich würde jetzt hergehen und diese Zyklenschreibweise in
> eine Permutatiosschreibweise umändern
>  
> [mm]\pi_{1}[/mm] = (1 3 4)(2 8)(6 7)(5)
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 4 & 1 & 5 & 7 & 6 & 2 }[/mm]
>  
>
> [mm]\pi_{2}[/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 5)
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6 }[/mm]

Das kann man machen, ist aber ein Umweg!

> (a)
>  [mm]\pi_{1}^{-1}[/mm]
>  
> (3 8 4 1 5 7 6 2) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 4 2 1 3 5 6 7 8
>  In Zyklenschreibweise
>  (1 4 3)(2)(5)(6)(7)(8)

Das kann nie das Inverse sein, weil [mm] \pi_{1} [/mm] 2 auf 8 abbildet. Die inverse Abb. muß das rückgängig machen!

Richtig ist [mm] \pi_{1}^{-1} [/mm] = (5)(6 7)(2 8)(1 4 3)
das sind die inversen der einzelnen Zyklen in umgekehrter Reihenfolge
(wg. [mm] (a*b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1}*a^{-1} [/mm] in Gruppen)

> (b)
>  [mm]\pi_{2}^{-1}[/mm]
>  
> (4 1 7 8 3 2 5 6) o (4 1 7 8 3 2 5 6) = 8 4 5 6 7 1 3 2
>  In Zylendarstellung:
>  (1 8 2 4 6)(3 5 7)

Nein, muß heißen (3 5 7)(1 2 6 8 4)

> (c)
>  [mm]\pi_{2}\circ\pi_{1}[/mm]
>  
> (4 1 7 8 3 2 5 6) o (3 8 4 1 5 7 6 2) = 7 6 8 4 3 5 2 1
>  In Zylendarstellung:
>  (1 7 2 6 5 3 8)(4)

[mm] \pi_{2}\circ\pi_{1} [/mm] = (1 4 8 6 2)(3 7 [mm] 5)\circ(1 [/mm] 3 4)(2 8)(6 7)(5) = (1 7 2 6 5 3 1)(4)

Rezept: von rechts lesen und hinschreiben, d. h. 1 erst auf 3 und dann 3 auf 7, 7 auf 6 und dann auf 2 usw.

Alle Klarheiten beseitigt?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
Permutation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Di 16.05.2006
Autor: Frankster

Ahrg ;)

Ich mag diese Permutationen nicht *g*

Ich dachte [mm] \pi [/mm] o [mm] \pi [/mm] ergibt invers :(
sozusagen wenn sich die permutation selbst verknüpft

Bezug
                        
Bezug
Permutation: trotzdem lächeln
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Di 16.05.2006
Autor: statler


> Ahrg ;)
>  
> Ich mag diese Permutationen nicht *g*

Aber danach geht es leider nicht immer!

>
> Ich dachte [mm]\pi[/mm] o [mm]\pi[/mm] ergibt invers :(
>  sozusagen wenn sich die permutation selbst verknüpft

[mm] \pi \circ \pi [/mm] gibt  [mm] \pi^{2} [/mm] un nix anneres!

Gruß
Dieter


Bezug
                                
Bezug
Permutation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Di 16.05.2006
Autor: Frankster

Zuerst mal danke vielmals für deine Hilfe und Geduld :)

Aber es funktioniert auch so oder ?

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6 } [/mm]

Und jetzt dreh ich das ganze um *g*

[mm] \pmat{ 4 & 1 & 7 & 8 & 3 & 2 & 5 & 6\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 } [/mm]

Orden das ganze

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 2 & 6 & 5 & 1 & 7 & 8 & 3 & 4} [/mm]

Und jetzt noch die schöne Zyklusschreibweise?
(1 2 6 8 4)(3 5 7)

Vielleicht ein bisschen umständlich ;)

Mfg
Frankster

Bezug
                                        
Bezug
Permutation: Klar geht es so auch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Di 16.05.2006
Autor: statler

Mensch, ich bin echt stolz auf dich!

Dieter


Bezug
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