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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Permutationen
Permutationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Permutationen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Mi 10.11.2004
Autor: Berndte2002

Hier eine Aufgabe zu Permutationen, bei der ich über einen Ansatz dankbar wäre.

Betrachte [mm] P_{4} [/mm] , die Gruppe aller Permutationen auf M = [mm] \{1,2,3,4\}. [/mm]

a) Wieviele Elemente hat [mm] P_{4} [/mm] und wieviele die Menge aller Abbildungen von M in sich.

Der erste Teil ist mir klar. [mm] P_{4} [/mm] hat 4! = 24 Elemente. Aber den zweiten Teil verstehe ich nicht. Ist damit gemeint | [mm] P_{4}^{P_{4}} [/mm] | ?

b) Bestimme die durch (3,4,1,2) aufgespannte Untergruppe von [mm] P_{4}. [/mm]

Ich verstehe die Aufgabe folgendermaßen: Es ist die Hülle von [mm] P_{4} [/mm] bzgl. (3,4,1,2) gesucht, also U = [mm] span_{P_{4}} \{(3,4,1,2)\}. [/mm] Aber wenn ich nun (3,4,1,2) mit allen beliebigen Elementen von  [mm] P_{4} [/mm] verknüpfe (in beiden Richtungen) und den Durchschnitt bilde (das ist mein Verständnis von einer Hülle), erhalte ich wieder [mm] P_{4} [/mm] selbst!?!?! Kann das sein oder gehe ich an die ganze Sache vielleicht falsch ran?

Vielen Dank, ich hoffe es kann wer helfen

mfg
Berndte

        
Bezug
Permutationen: Hülle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Do 11.11.2004
Autor: Gnometech

Hallo Berndte!

Also für den ersten Teil von a) schonmal: [ok]

Die [mm] $P_4$ [/mm] hat exakt 24 Elemente, das entspricht genau den bijektiven Abbildungen der Menge in sich.

Gesucht ist jetzt noch die Anzahl aller Abbildungen der Menge in sich, also, wie Du geschrieben hast, [mm] $|P_4^{P_4}|$. [/mm] Das ist auch einfache Kombinatorik. :-)

Zu b):

Unter der "Hülle" eines Elementes in einer Gruppe (NICHT in einem Vektorraum) versteht man die kleinste Untergruppe, die dieses Element enthält. Da darf man nicht mit allen Gruppenelementen verknüpfen, sonst kommt immer wieder die ganze Gruppe heraus!

Beispiel: die kleinste Untergruppe, die das Einselement $e$ enthält, ist schlicht [mm] $\{ e \}$, [/mm] also die triviale Untergruppe.

Manchmal schreibt man die von einem Element erzeugte Gruppe auch so:

[mm] $\langle [/mm] x [mm] \rangle [/mm] := [mm] \{ x^n : n \in \IZ \}$ [/mm]

Wobei natürlich [mm] $x^0 [/mm] = e$ und [mm] $x^{-n} [/mm] = [mm] (x^n)^{-1}$ [/mm] sein soll für $n > 0$.

Mit dem Wissen bewaffnet kannst Du jetzt bestimmt die gesuchte Untergruppe ausrechnen! :-) Viel Erfolg!

Lars

Bezug
                
Bezug
Permutationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Do 11.11.2004
Autor: Berndte2002

Gut ich hoffe ich liege dann richtig, dass [mm] |P_4^{P_4}| [/mm] = [mm] 24^{24} [/mm] ist und die Untergruppe U = {(1,2,3,4),(3,4,1,2)} ist...
Falls etwas falsch ist mich bitte nochmal berichtigen, wenns richtig is wäre ich über eine kleine Message auch dankbar :)

Danke
mfg
Berndte

Bezug
                        
Bezug
Permutationen: Ups
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Fr 12.11.2004
Autor: Gnometech

Gruß!

Ups, sorry, hab mich vertan!

Denn die Menge aller Abbildungen von $M := [mm] \{ 1,2,3,4 \}$ [/mm] in sich ist ja nicht [mm] $P_4^{P_4}$, [/mm] sondern [mm] $M^M$ [/mm] und von daher gilt natürlich

[mm] $|M^M| [/mm] = [mm] 4^4 [/mm] = 256$

Was das andere angeht: sofern ich eure Zykelschreibweise richtig lese (der Zykel $(a,b,c,d)$ heißt: 1 geht auf $a$, 2 geht auf $b$ usw.), dann stimmt das: denn das Element ist zu sich selbst invers und die entstehende Gruppe hat nur zwei Elemente.

Also hier: [ok]

Lars

Bezug
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