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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:04 Sa 29.11.2008 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Zeigen sie das jede Permutation [mm] \pi \in S_{n} [/mm] konjugiert ist zu ihrer Inversen [mm] \pi^{-1}.
[/mm]
Hinweis: Verwenden sie die Zyklenschreibweise. |
Hallo,
ich habe mir schon einiges überlegt, aber ich komme mal wieder auf keinen grünen Zweig mit meinem Ansatz.
Also erstmal zur Zykelschreibweise. Eine Permutation [mm] \pi [/mm] aus [mm] S_{n} [/mm] ist ja nur dann ein Zykel wenn jedes Element einer beliebigen Menge durch die Permutation folgendermaßen abgebildet wird. [mm] \delta [/mm] ist der Zyklus.
für k=1,...,l-1 gilt: [mm] \delta(a_{k})=a_{k+1}
[/mm]
für k=l gilt: [mm] \delta(a_{l})=a_{1}
[/mm]
für alle anderen gilt [mm] \delta(a)=a
[/mm]
Wenn ich also um obiges zu zeigen Zykelschreibweise verwenden soll, dann muss ich doch voraussetzen, das meine Permutation [mm] \pi \in S_{n} [/mm] überhaupt als Zykel geschrieben werden kann. Das ist schon mal das erste was mich stört.
Um obiges zu beweisen muss ich doch folgendes zeigen:
Zwei Elemente a,b einer Gruppe G sind konjugiert zueinander, wenn es ein Element g [mm] \in [/mm] G gibt, so das gilt: [mm] a=g*b*g^{-1}
[/mm]
Also auf meine Aufgabe übersetzt heißt das, das ich folgendes zeigen muss: Seien [mm] \tau [/mm] und [mm] \pi \in S_{n}.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] \pi=\tau*\pi^{-1}*\tau^{-1}. [/mm] Dann wären [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi^{-1} [/mm] zueinander konjugiert.
Da man die Zykelschreibweise verwenden soll, habe ich jetzt einfach mal angenommen, das [mm] \tau [/mm] eine Permutation sei, die als Zyklus [mm] \tau=(a_{1}...a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{1}...a_{n} \in I_{n}=\{1,...n\} [/mm] geschrieben werden kann.
So, nun weiß ich was ich zeigen soll und habe Annahmen gemacht, hab aber keine Ahnung wie ich weitermachen soll.
Ich habe mal folgendes gemacht, was mir aber glaube ich überhaupt nichts bringt.
[mm] \tau*\pi^{-1}*\tau^{-1}=(a_{1}...a_{n})*\pi^{-1}*(a_{l}...a_{1})
[/mm]
[mm] =(a_{1}...a_{n})*(a_{l}...a_{1})
[/mm]
[mm] =\tau*\tau^{-1}
[/mm]
=Id
Ich habe verwendet, das [mm] \tau^{-1}=(a_{l}...a_{1}) [/mm] ist und das [mm] \pi^{-1}(n)=n
[/mm]
Nur irgendwie müsste ja eigentlich sowas wie [mm] \pi [/mm] rauskommen.
Ich weiß auch nicht so ganz. Vielleicht überseh ich wieder was oder mache Annahmen, die ich gar nicht machen darf.
Vielleicht könnte mir jemand von euch weiterhelfen?
Danke schonmal im Vorraus.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 30.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich finde es wirklich ziemlich traurig, das sich niemand mal die Mühe macht und versucht mir bei der Aufgabe zu helfen.
Hier werden immer nur die leichten Aufgaben aus der Mittel- und Oberstufe bearbeitet, aber sobald mal ein bisschen was schwierigeres dabei ist bekommt man keine Antwort auf seine Frage.
Hat denn niemand eine Idee? Wenn ich was besseres wüßte als das, was ich schon geschrieben habe, würde ich ja versuchen die Aufgabe selbst zu lösen aber leider weiß ich nichts besseres.
Gruß,
clwoe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mo 01.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen sie das jede Permutation [mm]\pi \in S_{n}[/mm] konjugiert
> ist zu ihrer Inversen [mm]\pi^{-1}.[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden sie die Zyklenschreibweise.
Gemeint ist: jede Permutation ist darstellbar als Produkt von paarweise disjunkten Zyklen. Das sollst du benutzen.
Damit kannst du die Aufgabe darauf reduzieren, folgendes zu loesen: finde zum Zykel $z = [1, 2, [mm] \dots, [/mm] n]$ eine Permutation [mm] $\sigma$ [/mm] von [mm] $\{ 1, \dots, n \}$ [/mm] mit [mm] $\sigma \circ [/mm] z = [mm] z^{-1} \circ \sigma$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 02.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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