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| Aufgabe | Es sei [mm] $G\!\$ [/mm] die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] auf sich selbst, wobei die Gruppenoperation die Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen ist. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Identität id, also (id) = 1, id(2) = 2, id(3) = 3.
Weiterhin sei $f [mm] \in [/mm] G$ die Abbildung mit f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1 und $h [mm] \in [/mm] G$ die Abbildung mit h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 1.
Eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst bezeichnet man auch als Permutation, die entsprechende Schreibweise für [mm] $f\!\$ [/mm] lautet dann (13)(2) und für [mm] $h\!\$ [/mm] schreibt man (123). Die Abbildung id schreibt man dann dagegeben als (1)(2)(3).
a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass [mm] $\{\mbox{id}, f\}$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $G\!\$ [/mm] ist.
b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass [mm] $\{\mbox{id}, f, h\}$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $G\!\$ [/mm] ist.
c) Bestimmen Sie alle rechten Nebenklassen der Untergruppe [mm] $\{\mbox{id}, (123), (132)\}$
[/mm]
d) Wir betrachten nun die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge [mm] $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ [/mm] auf sich selbst. Berechnen Sie die von (123)(45) erzeugte Untergruppe.
Hinweis: Die "erzeugte Untergruppe" ist die kleinste Untergruppe, welche die gewünschten Elemente enthält. Man startet mit dem geforderten Element oder Elementen, und nimmt so lange Elemente hinzu, bis die Gruppengesetze erfüllt sind. Eine Gruppe oder Untergruppe, welche von einem einzigen Element erzeugt wird, nennt man auch zyklisch. |
Hallo,
ich weiß, dass die Angabe sehr lang ist, aber ich hoffe dennoch, dass sich jemand überwindet. 
So gehe ich vor:
[mm] $\mbox{id}=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 },$ $f=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 },$ $h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }$
[/mm]
a)
[mm] $\begin{array}{c|c c}
\circ & \mbox{id} & f\\
\hline
\mbox{id} & \mbox{id} & f\\
f & f & \mbox{id}\\
\end{array}$
[/mm]
Zwei Untergruppen: {id} und {id, f}
b)
[mm] $\begin{array}{c|c c c}
\circ & \mbox{id} & f & h\\
\hline
\mbox{id} & \mbox{id} & f & h\\
f & f & \mbox{id} & -\\
h & h & - & -\\
\end{array}$
[/mm]
$f [mm] \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 },$ [/mm] $h [mm] \circ f=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 },$ [/mm] $h [mm] \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }$
[/mm]
{id} und {id, f} sind Untergruppen, aber {id, f, h} ist keine Untergruppe.
c) Rechte Nebenklasse (Definition):
Sei [mm] $H\!\$ [/mm] eine Untergruppe einer Gruppe [mm] $G\!\$ [/mm] und sei [mm] $b\!\$ [/mm] ein beliebiges Element in [mm] $G.\!\$ [/mm] Dann heißt $H [mm] \circ [/mm] b = [mm] \{h \circ b | h \in H \}$ [/mm] eine rechte Nebenklasse von [mm] $H\!\$ [/mm] in [mm] $G.\!\$
[/mm]
Leider kann ich nicht mal einen eigenen Ansatz liefern. Wie muss man hier vorgehen?
d) Es gibt insgesamt 120 Permutationen (= 5!). Ich kann mir kaum vorstellen, dass der Weg über eine Tabelle geht, aber ich kann den Hinweis leider nicht verwerten...
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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moin,
> So gehe ich vor:
>
> [mm]\mbox{id}=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 },[/mm] [mm]f=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 },[/mm]
> [mm]h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }[/mm]
>
> a)
> [mm]$\begin{array}{c|c c}
\circ & \mbox{id} & f\\
\hline
\mbox{id} & \mbox{id} & f\\
f & f & \mbox{id}\\
\end{array}$[/mm]
>
> Zwei Untergruppen: {id} und {id, f}
Du sollst hier aber nicht die Untergruppen von [mm] $\{id,f\}$ [/mm] finden sondern du sollst die Frage klären, ob dies überhaupt eine Untergruppe ist.
Dafür musst du die Untergruppenaxiome nachweisen; kennst du die?
> b)
> [mm]$\begin{array}{c|c c c}
\circ & \mbox{id} & f & h\\
\hline
\mbox{id} & \mbox{id} & f & h\\
f & f & \mbox{id} & -\\
h & h & - & -\\
\end{array}$[/mm]
>
> [mm]f \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 },[/mm] [mm]h \circ f=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 },[/mm]
> [mm]h \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
>
> {id} und {id, f} sind Untergruppen, aber {id, f, h} ist
> keine Untergruppe.
Auch hier brauchst du nur die letzte Feststellung, dass die gegebene Menge keine Untergruppe ist; diese sollte aber natürlich noch bewiesen oder zumindest in einem kurzen Satz mithilfe deiner Rechnung begründet werden.
> c) Rechte Nebenklasse (Definition):
> Sei [mm]H\!\[/mm] eine Untergruppe einer Gruppe [mm]G\!\[/mm] und sei [mm]b\!\[/mm]
> ein beliebiges Element in [mm]G.\!\[/mm] Dann heißt [mm]H \circ b = \{h \circ b | h \in H \}[/mm]
> eine rechte Nebenklasse von [mm]H\!\[/mm] in [mm]G.\!\[/mm]
>
> Leider kann ich nicht mal einen eigenen Ansatz liefern. Wie
> muss man hier vorgehen?
Die Gruppe $G$ hat 6 Elemente.
Also hast du zuerst einmal 6 Rechtsnebenklassen, die du bestimmen solltest.
Dabei wird dir auffallen, dass ein paar davon identisch sind, diese brauchst du dann nur einmal aufzulisten.
Alternativ kannst du dir natürlich auch vorher überlegen welche identisch sein müssen, um dir damit ein wenig Arbeit zu sparen.
Sollte dir da aber keine zündende Idee kommen so ist das Ausrechnen von 6 Nebenklassen auch noch nicht so kompliziert.
> d) Es gibt insgesamt 120 Permutationen (= 5!). Ich kann mir
> kaum vorstellen, dass der Weg über eine Tabelle geht, aber
> ich kann den Hinweis leider nicht verwerten...
Die zu findende Untergruppe soll das Element $p := (1 2 3)(4 5)$ enthalten und eine Untergruppe sein. Damit du eine Untergruppe bekommst, muss schonmal die Identität drinn sein.
Dann muss die Menge abgeschlossen sein, also etwa $p [mm] \circ [/mm] p$ muss in der Untergruppe enthalten sein, ebenso wie $p [mm] \circ [/mm] p [mm] \circ [/mm] p [mm] \circ \ldots$.
[/mm]
Überlege dir so, was du mindestens brauchst, damit das ganze überhaupt abgeschlossen ist, damit hast du das "kleinste" erfüllt.
Wenn du das dann hast so musst du noch zeigen, dass das was du erhältst auch wirklich eine Untergruppe ist, also du musst die Axiome nachweisen.
Als Tipp: Die gesuchte Untergruppe enthält genau 6 Elemente.
>
> Vielen Dank für die Mühe!
Immer gerne.
> Gruß
> el_grecco
>
lg
Schadow
PS: Ich würde dir raten, dich an die Zykelschreibweise zu gewöhnen.
Diese hat eine ganze Reihe von Vorteilen und sollten dir Permutationen im späteren Studium nochmal begegnen wirst du nicht um sie herum kommen (etwa um die Ordnung von Permutationen zu berechnen).
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| Aufgabe | Es sei $ [mm] G\!\ [/mm] $ die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge $ [mm] \{1,2,3\} [/mm] $ auf sich selbst, wobei die Gruppenoperation die Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen ist. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Identität id, also (id) = 1, id(2) = 2, id(3) = 3.
Weiterhin sei $ f [mm] \in [/mm] G $ die Abbildung mit f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1 und $ h [mm] \in [/mm] G $ die Abbildung mit h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 1.
Eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst bezeichnet man auch als Permutation, die entsprechende Schreibweise für $ [mm] f\!\ [/mm] $ lautet dann (13)(2) und für $ [mm] h\!\ [/mm] $ schreibt man (123). Die Abbildung id schreibt man dann dagegeben als (1)(2)(3).
a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass $ [mm] \{\mbox{id}, f\} [/mm] $ eine Untergruppe von $ [mm] G\!\ [/mm] $ ist.
b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass $ [mm] \{\mbox{id}, f, h\} [/mm] $ eine Untergruppe von $ [mm] G\!\ [/mm] $ ist.
c) Bestimmen Sie alle rechten Nebenklassen der Untergruppe $ [mm] \{\mbox{id}, (123), (132)\} [/mm] $
d) Wir betrachten nun die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge $ [mm] \{1, 2, 3, 4, 5\} [/mm] $ auf sich selbst. Berechnen Sie die von (123)(45) erzeugte Untergruppe.
Hinweis: Die "erzeugte Untergruppe" ist die kleinste Untergruppe, welche die gewünschten Elemente enthält. Man startet mit dem geforderten Element oder Elementen, und nimmt so lange Elemente hinzu, bis die Gruppengesetze erfüllt sind. Eine Gruppe oder Untergruppe, welche von einem einzigen Element erzeugt wird, nennt man auch zyklisch. |
Moin' Schadowmaster,
a)
> Du sollst hier aber nicht die Untergruppen von [mm]\{id,f\}[/mm]
> finden sondern du sollst die Frage klären, ob dies
> überhaupt eine Untergruppe ist.
> Dafür musst du die Untergruppenaxiome nachweisen; kennst
> du die?
>
Definition. Sei [mm] $G\!\$ [/mm] eine Gruppe. Eine Teilmenge $H [mm] \subset [/mm] G$ heißt Untergruppe von [mm] $G,\!\$ [/mm] falls:
(U1) $e [mm] \in [/mm] H,$
(U2) für alle $a,b [mm] \in [/mm] H$ gilt, dass $a*b [mm] \in [/mm] H,$
(U3) für alle $a [mm] \in [/mm] H$ gilt [mm] $a^{-1} \in [/mm] H.$
Ich versuche es mal:
(U1) ist erfüllt, da [mm] $\mbox{id} \in \{ \mbox{id}, f \}$
[/mm]
(U2) ist erfüllt, da [mm] $\mbox{id}*f [/mm] = f [mm] \in \{ \mbox{id}, f \},$ $f*\mbox{id} [/mm] = f [mm] \in \{ \mbox{id}, f \}$ [/mm] und $f*f = [mm] \mbox{id} \in \{ \mbox{id}, f \}$
[/mm]
(U3) Da bin ich überfordert... Spontan hätte ich gesagt, ich muss so vorgehen: ![[]](/images/popup.gif) Gauß-Jordan-Algorithmus
b)
> > [mm]$\begin{array}{c|c c c}
\circ & \mbox{id} & f & h\\
\hline
\mbox{id} & \mbox{id} & f & h\\
f & f & \mbox{id} & -\\
h & h & - & -\\
\end{array}$[/mm]
>
> >
> > [mm]f \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 },[/mm] [mm]h \circ f=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 },[/mm]
> > [mm]h \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
> >
> > {id} und {id, f} sind Untergruppen, aber {id, f, h} ist
> > keine Untergruppe.
>
> Auch hier brauchst du nur die letzte Feststellung, dass die
> gegebene Menge keine Untergruppe ist; diese sollte aber
> natürlich noch bewiesen oder zumindest in einem kurzen
> Satz mithilfe deiner Rechnung begründet werden.
>
(U1) ist erfüllt, da [mm] $\mbox{id} \in \{ \mbox{id}, f, h \}$
[/mm]
(U2) ist nicht erfüllt, da z.B. $f*h [mm] \notin \{ \mbox{id}, f, h \}$
[/mm]
(U3) Leider überfordert (siehe oben)
c)
> Sollte dir da aber keine zündende Idee kommen so ist das
> Ausrechnen von 6 Nebenklassen auch noch nicht so
> kompliziert.
Genau dieses Ausrechnen macht mir zu schaffen, denn ich habe noch nie gesehen, wie das geht... Wäre cool, wenn Du eins vorrechnen könntest, dann sollte hoffentlich der Groschen bei mir fallen.
d)
> Die zu findende Untergruppe soll das Element [mm]p := (1 2 3)(4 5)[/mm]
> enthalten und eine Untergruppe sein. Damit du eine
> Untergruppe bekommst, muss schonmal die Identität drinn
> sein.
> Dann muss die Menge abgeschlossen sein, also etwa [mm]p \circ p[/mm]
> muss in der Untergruppe enthalten sein, ebenso wie [mm]p \circ p \circ p \circ \ldots[/mm].
>
> Überlege dir so, was du mindestens brauchst, damit das
> ganze überhaupt abgeschlossen ist, damit hast du das
> "kleinste" erfüllt.
> Wenn du das dann hast so musst du noch zeigen, dass das
> was du erhältst auch wirklich eine Untergruppe ist, also
> du musst die Axiome nachweisen.
>
> Als Tipp: Die gesuchte Untergruppe enthält genau 6
> Elemente.
Für die Identität schreibt man (123), also muss das schonmal enthalten sein...?
Ich stehe leider noch immer auf dem Schlauch und zusätzlich verwirrt mich auch der Satz "Eine Gruppe oder Untergruppe, welche von einem einzigen Element erzeugt wird, nennt man auch zyklisch." im Hinweis, denn wenn die Identität (123) enthalten sein muss, ist das bereits mehr als 1 Element.
Gruß
el_grecco
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> Moin' Schadowmaster,
>
> a)
>
> > Du sollst hier aber nicht die Untergruppen von [mm]\{id,f\}[/mm]
> > finden sondern du sollst die Frage klären, ob dies
> > überhaupt eine Untergruppe ist.
> > Dafür musst du die Untergruppenaxiome nachweisen;
> kennst
> > du die?
> >
>
> Definition. Sei [mm]G\!\[/mm] eine Gruppe. Eine Teilmenge [mm]H \subset G[/mm]
> heißt Untergruppe von [mm]G,\!\[/mm] falls:
>
> (U1) [mm]e \in H,[/mm]
>
> (U2) für alle [mm]a,b \in H[/mm] gilt, dass [mm]a*b \in H,[/mm]
>
> (U3) für alle [mm]a \in H[/mm] gilt [mm]a^{-1} \in H.[/mm]
>
>
> Ich versuche es mal:
> (U1) ist erfüllt, da [mm]\mbox{id} \in \{ \mbox{id}, f \}[/mm]
>
> (U2) ist erfüllt, da [mm]\mbox{id}*f = f \in \{ \mbox{id}, f \},[/mm]
> [mm]f*\mbox{id} = f \in \{ \mbox{id}, f \}[/mm] und [mm]f*f = \mbox{id} \in \{ \mbox{id}, f \}[/mm]
>
> (U3) Da bin ich überfordert... Spontan hätte ich gesagt,
> ich muss so vorgehen:
> Gauß-Jordan-Algorithmus
Huch? Gauß ist doch was für Matrizen, nicht für Permutationen.
Du brauchst für jedes Element deiner Menge auch das Inverse in der Menge.
Das Inverse der Identität ist die Identität, die ist drinn.
Das Inverse von $f$ ist $f$ selber, auch das ist drinn.
Somit ist dieses Axiom erfüllt.
>
> b)
> > > [mm]$\begin{array}{c|c c c}
\circ & \mbox{id} & f & h\\
\hline
\mbox{id} & \mbox{id} & f & h\\
f & f & \mbox{id} & -\\
h & h & - & -\\
\end{array}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]f \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 },[/mm] [mm]h \circ f=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 },[/mm]
> > > [mm]h \circ h=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
> > >
> > > {id} und {id, f} sind Untergruppen, aber {id, f, h} ist
> > > keine Untergruppe.
> >
> > Auch hier brauchst du nur die letzte Feststellung, dass die
> > gegebene Menge keine Untergruppe ist; diese sollte aber
> > natürlich noch bewiesen oder zumindest in einem kurzen
> > Satz mithilfe deiner Rechnung begründet werden.
> >
>
> (U1) ist erfüllt, da [mm]\mbox{id} \in \{ \mbox{id}, f, h \}[/mm]
>
> (U2) ist nicht erfüllt, da z.B. [mm]f*h \notin \{ \mbox{id}, f, h \}[/mm]
>
> (U3) Leider überfordert (siehe oben)
U3 kannst du dir hier komplett sparen.
Da U2 nicht erfüllt ist, ist deine Menge keine Untergruppe, ganz egal ob U3 nun erfüllt ist oder nicht.
> c)
>
> > Sollte dir da aber keine zündende Idee kommen so ist das
> > Ausrechnen von 6 Nebenklassen auch noch nicht so
> > kompliziert.
>
> Genau dieses Ausrechnen macht mir zu schaffen, denn ich
> habe noch nie gesehen, wie das geht... Wäre cool, wenn Du
> eins vorrechnen könntest, dann sollte hoffentlich der
> Groschen bei mir fallen.
Zuerst schreiben wir mal alle 6 Elemente der [mm] $S_3$ [/mm] hin:
$id, (1 2), (1 3), (2 3),(1 2 3), (1 3 2)$
Um nun eine Rechtsnebenklasse zu erhalten, müssen wir diese 6 nacheinander an $H$ dranverknüpfen.
Also nehmen wir mal $(1 2)$:
$H [mm] \circ [/mm] (1 2 ) = [mm] \{ id \circ (1 2), (1 2 3) \circ (1 2), (1 3 2) \circ (1 2) \}$.
[/mm]
Das ganze können wir jetzt auch noch ausrechnen und erhalten:
$= [mm] \{ ( 1 2), (1 3),(2 3) \}$
[/mm]
Das Trainiert das Rechnen mit Permutationen in der Zykelschreibweise ganz gut.
Als Tipp, damit du nicht zu viel rechnen musst:
Was ist $H [mm] \circ [/mm] h$ für ein $h [mm] \in [/mm] H$, wie kannst du hier die Gruppen- bzw. Untergruppenaxiome (die ja nach Aufgabenstellung für $H$ gelten) ausnutzen, um dir das Leben einfacher zu machen?
> d)
>
> > Die zu findende Untergruppe soll das Element [mm]p := (1 2 3)(4 5)[/mm]
> > enthalten und eine Untergruppe sein. Damit du eine
> > Untergruppe bekommst, muss schonmal die Identität drinn
> > sein.
> > Dann muss die Menge abgeschlossen sein, also etwa [mm]p \circ p[/mm]
> > muss in der Untergruppe enthalten sein, ebenso wie [mm]p \circ p \circ p \circ \ldots[/mm].
>
> >
> > Überlege dir so, was du mindestens brauchst, damit das
> > ganze überhaupt abgeschlossen ist, damit hast du das
> > "kleinste" erfüllt.
> > Wenn du das dann hast so musst du noch zeigen, dass das
> > was du erhältst auch wirklich eine Untergruppe ist, also
> > du musst die Axiome nachweisen.
> >
> > Als Tipp: Die gesuchte Untergruppe enthält genau 6
> > Elemente.
>
> Für die Identität schreibt man (123), also muss das
> schonmal enthalten sein...?
Moment!
Das ist nicht die Identität, (1 2 3) ist der Zykel, der $1 [mm] \mapsto [/mm] 2 [mm] \mapsto [/mm] 3 [mm] \mapsto [/mm] 1$ abbildet und den Rest fest lässt (insbesondere lässt dieser etwa die 1 nicht fest, ist also nicht die Identität).
Für die Identität schreibt man normalerweise $id$, da Zykel der Länge 1 gerne weggelassen werden.
> Ich stehe leider noch immer auf dem Schlauch und
> zusätzlich verwirrt mich auch der Satz "Eine Gruppe oder
> Untergruppe, welche von einem einzigen Element erzeugt
> wird, nennt man auch zyklisch." im Hinweis, denn wenn die
> Identität (123) enthalten sein muss, ist das bereits mehr
> als 1 Element.
Ja, es geht hier um das erzeugen.
Diese Gruppe, die du so finden sollst, ist zyklisch, denn es ist nur gegeben, dass sie dieses eine Element enthalten soll und eine Untergruppe sein soll.
Wie bereits gesagt haben dann (in deinem Fall) alle Elemente die Form $p [mm] \circ [/mm] p [mm] \circ \ldots$ [/mm] .
Im allgemeinen hat eine zyklische Gruppe die Form [mm] $\{ p^k \mid k \in \IZ \}$ [/mm] für ein $p$.
Allerdings könnte etwa [mm] $p^3=p^6=p^9=\ldots$ [/mm] gelten, wodurch diese scheinbar unendliche Menge nur endlich viele (verschiedene) Elemente hat; in deinem Fall gilt dies auch und die Anzahl ist genau 6.
Also rechne einfach mal so lange munter Potenzen von $p$ aus, bis sie sich wiederholen, du also nichts neues mehr hinzubekommst.
Dann das gleiche auch ins negative, bis es da nichts mehr dazu gibt, dann bist du fertig und musst nur noch zeigen, dass die so erzeugte Menge auch wirklich eine Untergruppe ist.
Dazu solltest du am besten die obere Form benutzen und die Tatsache, dass zu jedem $k [mm] \in \IZ$ [/mm] das Element [mm] $p^k$ [/mm] in deiner Menge liegt (auch wenn vielleicht einige davon gleich sind).
> Gruß
> el_grecco
>
lg
Schadow
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| Aufgabe | Es sei $ [mm] G\!\ [/mm] $ die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge $ [mm] \{1,2,3\} [/mm] $ auf sich selbst, wobei die Gruppenoperation die Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen ist. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Identität id, also (id) = 1, id(2) = 2, id(3) = 3.
Weiterhin sei $ f [mm] \in [/mm] G $ die Abbildung mit f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1 und $ h [mm] \in [/mm] G $ die Abbildung mit h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 1.
Eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst bezeichnet man auch als Permutation, die entsprechende Schreibweise für $ [mm] f\!\ [/mm] $ lautet dann (13)(2) und für $ [mm] h\!\ [/mm] $ schreibt man (123). Die Abbildung id schreibt man dann dagegeben als (1)(2)(3).
a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass $ [mm] \{\mbox{id}, f\} [/mm] $ eine Untergruppe von $ [mm] G\!\ [/mm] $ ist.
b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass $ [mm] \{\mbox{id}, f, h\} [/mm] $ eine Untergruppe von $ [mm] G\!\ [/mm] $ ist.
c) Bestimmen Sie alle rechten Nebenklassen der Untergruppe $ [mm] \{\mbox{id}, (123), (132)\} [/mm] $
d) Wir betrachten nun die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge $ [mm] \{1, 2, 3, 4, 5\} [/mm] $ auf sich selbst. Berechnen Sie die von (123)(45) erzeugte Untergruppe.
Hinweis: Die "erzeugte Untergruppe" ist die kleinste Untergruppe, welche die gewünschten Elemente enthält. Man startet mit dem geforderten Element oder Elementen, und nimmt so lange Elemente hinzu, bis die Gruppengesetze erfüllt sind. Eine Gruppe oder Untergruppe, welche von einem einzigen Element erzeugt wird, nennt man auch zyklisch. |
Jo Schadow!
a)
> Das Inverse der Identität ist die Identität, die ist
> drinn.
> Das Inverse von [mm]f[/mm] ist [mm]f[/mm] selber, auch das ist drinn.
Warum ist das Inverse eines Elements das Element selber bzw. gibt es da eine Rechenregel?
c)
> Zuerst schreiben wir mal alle 6 Elemente der [mm]S_3[/mm] hin:
> [mm]id, (1 2), (1 3), (2 3),(1 2 3), (1 3 2)[/mm]
> Um nun eine
> Rechtsnebenklasse zu erhalten, müssen wir diese 6
> nacheinander an [mm]H[/mm] dranverknüpfen.
> Also nehmen wir mal [mm](1 2)[/mm]:
> [mm]H \circ (1 2 ) = \{ id \circ (1 2), (1 2 3) \circ (1 2), (1 3 2) \circ (1 2) \}[/mm].
>
> Das ganze können wir jetzt auch noch ausrechnen und
> erhalten:
> [mm]= \{ ( 1 2), (1 3),(2 3) \}[/mm]
Wie kommt man von $(1 2 3) [mm] \circ [/mm] (1 2)$ auf (1 3) bzw. von $(1 3 2) [mm] \circ [/mm] (1 2)$ auf (2 3)?
> Das Trainiert das Rechnen mit
> Permutationen in der Zykelschreibweise ganz gut.
> Als Tipp, damit du nicht zu viel rechnen musst:
> Was ist [mm]H \circ h[/mm] für ein [mm]h \in H[/mm], wie kannst du hier die
> Gruppen- bzw. Untergruppenaxiome (die ja nach
> Aufgabenstellung für [mm]H[/mm] gelten) ausnutzen, um dir das Leben
> einfacher zu machen?
Hmm... Meinst Du "Die Verknüpfung zweier Elemente aus H ergibt wieder ein Element aus H"?
d)
> Ja, es geht hier um das erzeugen.
> Diese Gruppe, die du so finden sollst, ist zyklisch, denn
> es ist nur gegeben, dass sie dieses eine Element enthalten
> soll und eine Untergruppe sein soll.
> Wie bereits gesagt haben dann (in deinem Fall) alle
> Elemente die Form [mm]p \circ p \circ \ldots[/mm] .
> Im allgemeinen hat eine zyklische Gruppe die Form [mm]\{ p^k \mid k \in \IZ \}[/mm]
> für ein [mm]p[/mm].
> Allerdings könnte etwa [mm]p^3=p^6=p^9=\ldots[/mm] gelten, wodurch
> diese scheinbar unendliche Menge nur endlich viele
> (verschiedene) Elemente hat; in deinem Fall gilt dies auch
> und die Anzahl ist genau 6.
> Also rechne einfach mal so lange munter Potenzen von [mm]p[/mm] aus,
> bis sie sich wiederholen, du also nichts neues mehr
> hinzubekommst.
> Dann das gleiche auch ins negative, bis es da nichts mehr
> dazu gibt, dann bist du fertig und musst nur noch zeigen,
> dass die so erzeugte Menge auch wirklich eine Untergruppe
> ist.
> Dazu solltest du am besten die obere Form benutzen und die
> Tatsache, dass zu jedem [mm]k \in \IZ[/mm] das Element [mm]p^k[/mm] in deiner
> Menge liegt (auch wenn vielleicht einige davon gleich
> sind).
Mein größtes Problem ist die Formel [mm] $\{ p^k \mid k \in \IZ \}.$ [/mm] Ich denke für p muss ich - wenn ich es richtig verstanden habe - immer eins der sechs Elemente id, (1 2), (1 3), (2 3),(1 2 3), (1 3 2) nehmen und sämtliche Potenzen durchprobieren. Aber wie rechnet man z.B. $(1 [mm] 2)^{2}$?
[/mm]
Gruß
el_grecco
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moin,
> Jo Schadow!
>
> a)
>
> > Das Inverse der Identität ist die Identität, die ist
> > drinn.
> > Das Inverse von [mm]f[/mm] ist [mm]f[/mm] selber, auch das ist drinn.
>
> Warum ist das Inverse eines Elements das Element selber
> bzw. gibt es da eine Rechenregel?
Das Inverse eines Elements $f$ ist immer das (eindeutig bestimmte!) Element $g$, das $f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f = id$ erfüllt.
In allgemeinen Gruppen muss man natürlich [mm] $\circ$ [/mm] durch die Gruppenverknüpfung und $id$ durch das neutrale Element ersetzen, die Aussage bleibt aber gleich.
Du hast bereits nachgerechnet, dass [mm] $f\circ [/mm] f = id$, also ist $f$ das Inverse von $f$. (Das gilt aber nicht allgemein und ist auch keine Rechenregel, das ist für dieses $f$ nur ein Zufall.)
Und damit du die Begriffe vielleicht mal in Aktion siehst:
Diese Gruppe ist zyklisch, denn sie ist von $f$ erzeugt.
Es ist nämlich [mm] $f^2 [/mm] = id, [mm] f^3 [/mm] = f, [mm] f^4 [/mm] = [mm] id,\ldots$ [/mm] sowie auch anders herum [mm] $f^{-1} [/mm] = f, [mm] f^{-2} [/mm] = id, [mm] f^{-3} [/mm] = f, [mm] \ldots$.
[/mm]
Damit ist [mm] $\{f, id \} [/mm] = [mm] \{ f^k \mid k \in \IZ \}$.
[/mm]
Für solche Gruppen schreibt man auch kurz [mm] $\langle [/mm] f [mm] \rangle$, [/mm] das Erzeugnis von $f$. (Falls du schon lineare Algebra hattest kommt dir das vielleicht bekannt vor.)
> c)
>
> > Zuerst schreiben wir mal alle 6 Elemente der [mm]S_3[/mm] hin:
> > [mm]id, (1 2), (1 3), (2 3),(1 2 3), (1 3 2)[/mm]
> > Um nun
> eine
> > Rechtsnebenklasse zu erhalten, müssen wir diese 6
> > nacheinander an [mm]H[/mm] dranverknüpfen.
> > Also nehmen wir mal [mm](1 2)[/mm]:
> > [mm]H \circ (1 2 ) = \{ id \circ (1 2), (1 2 3) \circ (1 2), (1 3 2) \circ (1 2) \}[/mm].
>
> >
> > Das ganze können wir jetzt auch noch ausrechnen und
> > erhalten:
> > [mm]= \{ ( 1 2), (1 3),(2 3) \}[/mm]
>
> Wie kommt man von [mm](1 2 3) \circ (1 2)[/mm] auf (1 3) bzw. von [mm](1 3 2) \circ (1 2)[/mm]
> auf (2 3)?
Das ist ein Produkt von Permutationen (denn jeder Zykel ist für sich selbst wieder eine Permutation) und damit ist es eine Komposition von Abbildungen.
Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie für alle Elemente dasselbe machen.
Also gucken wir mal, was $(1 2 3) [mm] \circ [/mm] (1 2)$ mit den Elementen [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] macht (bedenke: Abbildungen werden von rechts nach links ausgewertet):
$(1 2 [mm] 3)\circ [/mm] (1 2)(1) = (1 2 3)(2) = 3$
$(1 2 [mm] 3)\circ [/mm] (1 2)(2) = (1 2 3)(1) = 2$
$(1 2 [mm] 3)\circ [/mm] (1 2)(3) = (1 2 3)(3) = 1$
Also bildet diese Komposition von Abbildungen wie folgt ab:
$2 [mm] \mapsto [/mm] 2$, $1 [mm] \mapsto [/mm] 3 [mm] \mapsto [/mm] 1$, es handelt sich also um den Zykel $(1 3)$.
Allgemein macht man aus einem Produkt von nicht-disjunkten Zykeln auf diese Art ein Produkt disjunkter Zykel, indem man guckt was die Abbildung mit jedem einzelnen Element macht (ähnlich wie der Weg wie man von der Tabelle auf einen Zykel kommt).
An dieser Stelle sollte auch klar werden, wieso ich lieber $id$ statt [mm] $(1)(2)(3)(4)\ldots$ [/mm] schreibe. Zum einen ist $id$ kürzer, zum anderen werden Zykel der Länge 1 meist weggelassen (da sie die Permutation nicht ändern), damit man ein Element, das wie oben in Klammern steht, eindeutig als das Element identifizieren kann, das in die Permutation (bzw. die Komposition von Zykeln) eingesetzt wird; denn das [mm] $\circ$ [/mm] wird der Faulheit halber auch oft weggelassen.
> > Das Trainiert das Rechnen mit
> > Permutationen in der Zykelschreibweise ganz gut.
> > Als Tipp, damit du nicht zu viel rechnen musst:
> > Was ist [mm]H \circ h[/mm] für ein [mm]h \in H[/mm], wie kannst du hier
> die
> > Gruppen- bzw. Untergruppenaxiome (die ja nach
> > Aufgabenstellung für [mm]H[/mm] gelten) ausnutzen, um dir das Leben
> > einfacher zu machen?
>
> Hmm... Meinst Du "Die Verknüpfung zweier Elemente aus H
> ergibt wieder ein Element aus H"?
Ja, das ist schon eine sehr schöne Idee dafür.
> d)
>
> > Ja, es geht hier um das erzeugen.
> > Diese Gruppe, die du so finden sollst, ist zyklisch,
> denn
> > es ist nur gegeben, dass sie dieses eine Element enthalten
> > soll und eine Untergruppe sein soll.
> > Wie bereits gesagt haben dann (in deinem Fall) alle
> > Elemente die Form [mm]p \circ p \circ \ldots[/mm] .
> > Im allgemeinen hat eine zyklische Gruppe die Form [mm]\{ p^k \mid k \in \IZ \}[/mm]
> > für ein [mm]p[/mm].
> > Allerdings könnte etwa [mm]p^3=p^6=p^9=\ldots[/mm] gelten,
> wodurch
> > diese scheinbar unendliche Menge nur endlich viele
> > (verschiedene) Elemente hat; in deinem Fall gilt dies auch
> > und die Anzahl ist genau 6.
> > Also rechne einfach mal so lange munter Potenzen von [mm]p[/mm]
> aus,
> > bis sie sich wiederholen, du also nichts neues mehr
> > hinzubekommst.
> > Dann das gleiche auch ins negative, bis es da nichts
> mehr
> > dazu gibt, dann bist du fertig und musst nur noch zeigen,
> > dass die so erzeugte Menge auch wirklich eine Untergruppe
> > ist.
> > Dazu solltest du am besten die obere Form benutzen und
> die
> > Tatsache, dass zu jedem [mm]k \in \IZ[/mm] das Element [mm]p^k[/mm] in deiner
> > Menge liegt (auch wenn vielleicht einige davon gleich
> > sind).
>
> Mein größtes Problem ist die Formel [mm]\{ p^k \mid k \in \IZ \}.[/mm]
> Ich denke für p muss ich - wenn ich es richtig verstanden
> habe - immer eins der sechs Elemente id, (1 2), (1 3), (2
> 3),(1 2 3), (1 3 2) nehmen und sämtliche Potenzen
> durchprobieren. Aber wie rechnet man z.B. [mm](1 2)^{2}[/mm]?
Nein, $p$ soll das erzeugende Element sein, also $p=(1 2 3)(4 5)$.
Überdies bist du in der [mm] $S_5$, [/mm] also hast nicht nur die 6 Elemente.
Es wäre etwa [mm] $p^2 [/mm] = (1 3 2)$ in der von $p$ erzeugten Untergruppe drinn.
Zum Berechnen der Potenzen berechne wie oben erwähnt das Produkt der Zykel und bedenke dabei, dass disjunkte Zykel kommutieren.
Also [mm] $p^k [/mm] = (1 2 [mm] 3)^k\circ [/mm] (4 [mm] 5)^k$.
[/mm]
>
> Gruß
> el_grecco
>
lg
Schadow
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| Aufgabe | Es sei $ [mm] G\!\ [/mm] $ die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge $ [mm] \{1,2,3\} [/mm] $ auf sich selbst, wobei die Gruppenoperation die Hintereinanderausführung der beiden Abbildungen ist. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Identität id, also (id) = 1, id(2) = 2, id(3) = 3.
Weiterhin sei $ f [mm] \in [/mm] G $ die Abbildung mit f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1 und $ h [mm] \in [/mm] G $ die Abbildung mit h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 1.
Eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst bezeichnet man auch als Permutation, die entsprechende Schreibweise für $ [mm] f\!\ [/mm] $ lautet dann (13)(2) und für $ [mm] h\!\ [/mm] $ schreibt man (123). Die Abbildung id schreibt man dann dagegeben als (1)(2)(3).
a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass $ [mm] \{\mbox{id}, f\} [/mm] $ eine Untergruppe von $ [mm] G\!\ [/mm] $ ist.
b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass $ [mm] \{\mbox{id}, f, h\} [/mm] $ eine Untergruppe von $ [mm] G\!\ [/mm] $ ist.
c) Bestimmen Sie alle rechten Nebenklassen der Untergruppe $ [mm] \{\mbox{id}, (123), (132)\} [/mm] $
d) Wir betrachten nun die Gruppe aller bijektiven Abbildungen von der Menge $ [mm] \{1, 2, 3, 4, 5\} [/mm] $ auf sich selbst. Berechnen Sie die von (123)(45) erzeugte Untergruppe.
Hinweis: Die "erzeugte Untergruppe" ist die kleinste Untergruppe, welche die gewünschten Elemente enthält. Man startet mit dem geforderten Element oder Elementen, und nimmt so lange Elemente hinzu, bis die Gruppengesetze erfüllt sind. Eine Gruppe oder Untergruppe, welche von einem einzigen Element erzeugt wird, nennt man auch zyklisch. |
Hallo Schadow,
c)
> > Wie kommt man von [mm](1 2 3) \circ (1 2)[/mm] auf (1 3) bzw. von [mm](1 3 2) \circ (1 2)[/mm]
> > auf (2 3)?
>
> Das ist ein Produkt von Permutationen (denn jeder Zykel ist
> für sich selbst wieder eine Permutation) und damit ist es
> eine Komposition von Abbildungen.
> Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie für
> alle Elemente dasselbe machen.
> Also gucken wir mal, was [mm](1 2 3) \circ (1 2)[/mm] mit den
> Elementen [mm]\{1,2,3\}[/mm] macht (bedenke: Abbildungen werden von
> rechts nach links ausgewertet):
> [mm](1 2 3)\circ (1 2)(1) = (1 2 3)(2) = 3[/mm]
> [mm](1 2 3)\circ (1 2)(2) = (1 2 3)(1) = 2[/mm]
>
> [mm](1 2 3)\circ (1 2)(3) = (1 2 3)(3) = 1[/mm]
> Also bildet diese
> Komposition von Abbildungen wie folgt ab:
> [mm]2 \mapsto 2[/mm], [mm]1 \mapsto 3 \mapsto 1[/mm], es handelt sich also
> um den Zykel [mm](1 3)[/mm].
ich sehe den Rechenweg leider noch immer nicht. :-(
Das ist doch das Gleiche wie hier:
Beispiele zur Komposition von Permutationen
Den ersten Gliederungspunkt kann ich dort nachvollziehen, aber den zweiten und dritten nicht... Wäre cool, wenn Du den Rechenweg "Dummy-freundlich" zeigen könntest.
> > > Als Tipp, damit du nicht zu viel rechnen musst:
> > > Was ist [mm]H \circ h[/mm] für ein [mm]h \in H[/mm], wie kannst du
> hier
> > die
> > > Gruppen- bzw. Untergruppenaxiome (die ja nach
> > > Aufgabenstellung für [mm]H[/mm] gelten) ausnutzen, um dir das Leben
> > > einfacher zu machen?
> >
> > Hmm... Meinst Du "Die Verknüpfung zweier Elemente aus H
> > ergibt wieder ein Element aus H"?
>
> Ja, das ist schon eine sehr schöne Idee dafür.
Ich behalte das mal im Hinterkopf und komme darauf zurück, wenn ich das Rechnen verstanden habe.
d)
> Nein, [mm]p[/mm] soll das erzeugende Element sein, also [mm]p=(1 2 3)(4 5)[/mm].
>
> Überdies bist du in der [mm]S_5[/mm], also hast nicht nur die 6
> Elemente.
> Es wäre etwa [mm]p^2 = (1 3 2)[/mm] in der von [mm]p[/mm] erzeugten
> Untergruppe drinn.
> Zum Berechnen der Potenzen berechne wie oben erwähnt das
> Produkt der Zykel und bedenke dabei, dass disjunkte Zykel
> kommutieren.
> Also [mm]p^k = (1 2 3)^k\circ (4 5)^k[/mm].
>
Ich greife mal Dein Beispiel auf:
$ [mm] p^2 [/mm] = [mm] (123)^{2}(45)^{2}=(123)(123)(45)(45)=...=(1 [/mm] 3 2) $
Hier habe ich das gleiche Problem wie bei der c). Von daher sollte ich besser erst die c) verstehen...
Vielen Dank für Deine Geduld!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Sa 16.06.2012 | | Autor: | el_grecco |
Hallo,
ich pushe in meiner Verzweiflung mal das Thema.
Es ist nicht nötig, den ganzen Thread zu lesen sondern nur die aktuell offene Frage. Mein Problem ist genau die "Komposition von Permutationen".
Auch wenn es nur eine Idee sein sollte: bitte immer nur her damit, denn ich tappe total im Dunkeln!
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
EDIT:
Ich habe jetzt einige Fortschritte gemacht, nachdem ich diesen Thread gefunden habe.
c) Konnte ich lösen (wobei ich den umständlichen Alles-Berechnen-Weg gegangen bin, da ich nicht gesehen habe, wie man etwas einsparen kann).
d) Allgemein: $ [mm] p^k [/mm] = (1 2 [mm] 3)^k \circ [/mm] (4 [mm] 5)^k [/mm] $
Ich erhalte:
[mm] $p^{1}=(123)^{1} \circ (45)^{1}=(123)(45)=id$
[/mm]
[mm] $p^{2}=(123)^{2} \circ (45)^{2}=(132)$
[/mm]
[mm] $p^{3}=(123)^{3} \circ (45)^{3}=(45)$
[/mm]
[mm] $p^{4}=(123)^{4} \circ (45)^{4}=(123)(45)=id$
[/mm]
Also sind schonmal die Elemente [mm] $p^{1},p^{2},p^{3}$ [/mm] enthalten und es fehlen damit noch 3 Elemente (Schadowmaster meinte ja es sind insg. 6 Elemente).
Wie rechnet man aber [mm] $p^0 [/mm] = (1 2 [mm] 3)^0 \circ [/mm] (4 [mm] 5)^0$ [/mm] sowie mit negativen [mm] $k\!\$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 17.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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