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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:53 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Salamence |
| Aufgabe | Seien für [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n [mm] f_{i}^{n}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1} [/mm] diejenigen linearen Abbildungen, die die Standardbasis [mm] e_{0}^{n},...,e_{n-1}^{n} [/mm] des [mm] \mathbb{R}^{n} [/mm] auf die Teilmenge [mm] e_{0}^{n+1},..., \hat{e_{i}^{n+1}},...,e_{n}^{n+1} [/mm] der Standardbasis des [mm] \mathbb{R}^{n+1} [/mm] abbildet und sei für eine Permutation [mm] \alpha [/mm] von [mm] \{0,...,n\} b_{\alpha}: \mathbb{R}^{n+1}\rightarrow \mathbb{R}^{n+1} [/mm] diejenige lineare Abbildung, die den Standardbasisvektor [mm] e_{i}^{n+1} [/mm] auf den Schwerpunkt von [mm] e_{\alpha(0)}^{n+1},...,e_{\alpha(i)}^{n+1} [/mm] abbildet. Sei [mm] \tilde{\alpha} [/mm] die Komposition von [mm] \alpha [/mm] mit der Permutation [mm] (n,n-1,...,\alpha(n)) [/mm] interpretiert als Permutation von [mm] \{0,...,n-1\} [/mm] Dann gilt:
[mm] b_{\alpha}\circ f_{n}^{n} [/mm] = [mm] f_{\alpha(n)}^{n} \circ b_{\tilde{\alpha}} [/mm] |
Heyho!
Diese Identität wird angeben, um was nachzurechnen, ich versteh aber überhaupt nicht, warum das gilt... ich verstehe ja noch nicht einmal wie man [mm] \tilde{\alpha} [/mm] als Permutation der Zahlen 0,...,n-1 interpretieren sollte, auch verstehe ich nicht wie rum nun die Komposition sein soll...zuerst [mm] \alpha [/mm] oder zuletzt? Jedenfalls hab ich mir ein paar Beispiele angeguckt und in beiden Richtungen verkettet und festgestellt, dass ich im Allgemeinen nicht wüsste, wie man diese Verkettung als Permutation von 0,..,n-1 interpretieren sollte... weil eben n nicht auf n abgebildet wird, sondern auch irgendwie mit vorne steht.
Die linke Seite ausrechnen, krieg ich ja noch hin, da wird [mm] e_{i}^{n} [/mm] ja gerade auf [mm] \frac{1}{i+1}*\sum_{k=0}^{i} e_{k}^{n+1} [/mm] abgebildet, aber was rechts passiert, hab ich keinen blassen Schimmer von, weil ich einfach nicht weiß, was [mm] \tilde{\alpha} [/mm] tut und man so kaum [mm] f_{\alpha(n)}^{n} [/mm] anwenden kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Sa 11.08.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn die Komposition so zu verstehen ist, dass zuerst [mm] $\alpha$ [/mm] und dann die andere Permutation angewandt wird, dann erhaelst Du, dass $n$ von [mm] $\tilde{\alpha}$ [/mm] festgelassen wird. Damit induziert [mm] $\tilde{\alpha}$ [/mm] durch Einschraenkung eine Permutation der Menge [mm] $\{0,\ldots, n-1\}$. [/mm]
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> Wenn die Komposition so zu verstehen ist, dass zuerst
> [mm]\alpha[/mm] und dann die andere Permutation angewandt wird, dann
> erhaelst Du, dass [mm]n[/mm] von [mm]\tilde{\alpha}[/mm] festgelassen wird.
> Damit induziert [mm]\tilde{\alpha}[/mm] durch Einschraenkung eine
> Permutation der Menge [mm]\{0,\ldots, n-1\}[/mm].
Echt? Was ist denn dann an folgender Rechnung zum Beispiel falsch?
Sei [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 0 & 1 }
[/mm]
Dann ist [mm] \tilde{\alpha} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 0 & 1 } \circ \alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 4 & 3 }
[/mm]
hält also nicht 4 fest.... so war doch die Komposition von Permutationen definiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Sa 11.08.2012 | | Autor: | hippias |
Ich rechne so: Die Permutation [mm] $\sigma:=(n [/mm] n-1 [mm] \ldots \alpha(n))$ [/mm] bildet nach der Definition der Zykelschreibweise das Element [mm] $\alpha(n)$ [/mm] auf $n$ ab, daher ist [mm] $\tilde{\alpha}(n)= \sigma(\alpha(n))= [/mm] n$. Die Matrixschreibweise verwirrt mich nur - daher beschraenke ich mich darauf festzustellen, dass Du irgendwo einen kleinen Rechenfehler gemacht haben musst 
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> Ich rechne so: Die Permutation [mm]\sigma:=(n n-1 \ldots \alpha(n))[/mm]
> bildet nach der Definition der Zykelschreibweise das
> Element [mm]\alpha(n)[/mm] auf [mm]n[/mm] ab, daher ist [mm]\tilde{\alpha}(n)= \sigma(\alpha(n))= n[/mm].
> Die Matrixschreibweise verwirrt mich nur - daher
> beschraenke ich mich darauf festzustellen, dass Du irgendwo
> einen kleinen Rechenfehler gemacht haben musst
Mmmh, dann hab ich die Permutation $ [mm] (n,n-1,...,\alpha(n)) [/mm] $ wohl einfach falsch interpretiert, ich dachte die würde 0 auf n abbilden, n auf [mm] \alpha(n) [/mm] und so weiter...
Aber jetzt weiß ich immer noch nicht nicht, warum da Gleichheit gilt...
Es ist doch:
[mm] f_{\alpha(n)}^{n} \circ b_{\tilde{\alpha}} (e_{k}) [/mm] = [mm] \frac{1}{k+1}(\sum_{i=0: \tilde{\alpha}(i) < \alpha(n)}^{k} e_{\tilde{\alpha}(i)} [/mm] + [mm] \sum_{i=0: \alpha(n) \le \tilde{\alpha}(i) \le n-1}^{k} e_{\tilde{\alpha}(i)+1})
[/mm]
Ich seh irgendwie nicht, warum da das richtige rauskommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Salamence |
Ich hab das ganze jetzt mal für ein Beispiel nachgerechnet:
[mm] \alpha= \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 0 &2 &3 }
[/mm]
Dann ist
[mm] \tilde{\alpha} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 3 & 1 & 4 }
[/mm]
Linke Seite:
[mm] e_{0} \mapsto e_{1}
[/mm]
[mm] e_{1} \mapsto [/mm] SP von [mm] e_{1}, e_{4}
[/mm]
[mm] e_{2} \mapsto [/mm] SP von [mm] e_{1}, e_{4}, e_{0}
[/mm]
[mm] e_{3} \mapsto [/mm] SP von [mm] e_{1}, e_{4}, e_{0}, e_{2}
[/mm]
Rechte Seite:
[mm] e_{0} \mapsto e_{2}
[/mm]
[mm] e_{1} \mapsto [/mm] SP von [mm] e_{2}, e_{0}
[/mm]
[mm] e_{2} \mapsto [/mm] SP von [mm] e_{2}, e_{0}, e_{4}
[/mm]
[mm] e_{3} \mapsto [/mm] SP von [mm] e_{2}, e_{0}, e_{4}, e_{1}
[/mm]
Wenn ich mich also nicht verrechnet habe, ist die verfluchte Identität, die ich beweisen muss, falsch!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 So 12.08.2012 | | Autor: | Salamence |
Ich habs jetzt, ich hab die Zykelschreibweise nur schon wieder falsch interpretiert. xD
Wenn das aber so gemeint ist, dass n auf n-1 geht, n-1 auf n-2 ... und [mm] \alpha(n) [/mm] auf n und alle kleiner als [mm] \alpha(n) [/mm] fest bleiben, dann passt es.^^
Ich dachte jetzt erst, dass wäre so gemeint, dass es das Tupel (n,n-1,...,0) wäre, wobei 0 und [mm] \alpha(n) [/mm] getauscht sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Di 14.08.2012 | | Autor: | hippias |
> Ich habs jetzt, ich hab die Zykelschreibweise nur schon
> wieder falsch interpretiert. xD
>
> Wenn das aber so gemeint ist, dass n auf n-1 geht, n-1 auf
> n-2 ... und [mm]\alpha(n)[/mm] auf n und alle kleiner als [mm]\alpha(n)[/mm]
> fest bleiben, dann passt es.^^
>
> Ich dachte jetzt erst, dass wäre so gemeint, dass es das
> Tupel (n,n-1,...,0) wäre, wobei 0 und [mm]\alpha(n)[/mm] getauscht
> sind...
So ist es: Der Zykel $(n [mm] n-1\ldots \alpha(n))$ [/mm] bildet ab $n$ auf $n-1$, $n-1$ auf $n-2$ usw. [mm] $\alpha(n)+1$ [/mm] auf [mm] $\alpha(n)$ [/mm] UND [mm] $\alpha(n)$ [/mm] zurueck auf $n$. Allgemein wird das letzte rechtsstehende Element auf das erst linksstehende Element abgebildet. Die Elemente, die im Zykel nicht aufgefuehrt werden, bleiben fest.
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