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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Yogi1988 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Permutation [mm] \sigma [/mm] =
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12)
(1 11 7 5 4 2 8 10 6 12 9 3 ) [mm] \in [/mm] S12
(a) Notieren Sie [mm] \sigma [/mm] und [mm] \sigma^{-1} [/mm] als Produkt elementfremder Zyklen.
(b) Ermitteln Sie die Ordnung m der von [mm] \sigma [/mm] erzeugten Untergruppe [mm] <\sigma> [/mm] der symmetrischen
Gruppe S12.
(c) Geben Sie für die (zyklische) Untergruppe U der Ordnung 4, die die Gruppe [mm] <\sigma>
[/mm]
enthält, sämtliche Elemente von U an.
(d) Berechnen Sie [mm] \sigma^{803}. [/mm] |
Hallo allerseits,
ich tue mich mit der Aufgabe ein wenig schwer und hoffe ihr könnt mir helfen.
a) hab ich gemacht,
[mm] \sigma [/mm] = (1) (2 11 9 6) (3 7 8 10 12) (4 5)
[mm] \sigma^{-1} [/mm] = (1) (2 6 9 11) (3 12 10 8 7) (5 4)
b) Die Ordnung ist das KgV der Länge der disjunkten Zyklen der Permutation.
also: [mm] ord(\sigma) [/mm] = 1 * 4* 5 *2 = 40
die Ordnung ist also 40
Was genau ist die von [mm] \sigma [/mm] erzeugte Untergruppe der symmetrischen Gruppe S12? Sind das alle 40 Permutationen von [mm] \sigma [/mm] bis wieder ID vorliegt?
c)Soll ich da einen Teil der Permutation [mm] \sigma [/mm] auswählen?
Eine Untergruppe der Ordnung 4 wäre zb die Permutation
(2 11 9 6).
d) Da die Ordnung von [mm] \sigma [/mm] 40 ist gilt:
[mm] \sigma^{803} [/mm] = [mm] \sigma^{3}
[/mm]
[mm] \simga^{3} [/mm] = (1) (2 6 9 11) (3 10 7 12 8) (4 5)
Gruß
Yogi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 27.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben ist die Permutation [mm]\sigma[/mm] =
> (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12)
> (1 11 7 5 4 2 8 10 6 12 9 3 ) [mm]\in[/mm] S12
> (a) Notieren Sie [mm]\sigma[/mm] und [mm]\sigma^{-1}[/mm] als Produkt
> elementfremder Zyklen.
> (b) Ermitteln Sie die Ordnung m der von [mm]\sigma[/mm] erzeugten
> Untergruppe [mm]<\sigma>[/mm] der symmetrischen
> Gruppe S12.
> (c) Geben Sie für die (zyklische) Untergruppe U der
> Ordnung 4, die die Gruppe [mm]<\sigma>[/mm]
> enthält, sämtliche Elemente von U an.
> (d) Berechnen Sie [mm]\sigma^{803}.[/mm]
>
> Hallo allerseits,
> ich tue mich mit der Aufgabe ein wenig schwer und hoffe
> ihr könnt mir helfen.
>
>
> a) hab ich gemacht,
> [mm]\sigma[/mm] = (1) (2 11 9 6) (3 7 8 10 12) (4 5)
> [mm]\sigma^{-1}[/mm] = (1) (2 6 9 11) (3 12 10 8 7) (5 4)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Die Ordnung ist das KgV der Länge der disjunkten Zyklen
> der Permutation.
> also: [mm]ord(\sigma)[/mm] = 1 * 4* 5 *2 = 40
> die Ordnung ist also 40
Das ist nicht das kgV, sondern einfach das Produkt.
> Was genau ist die von [mm]\sigma[/mm] erzeugte Untergruppe der
> symmetrischen Gruppe S12? Sind das alle 40 Permutationen
> von [mm]\sigma[/mm] bis wieder ID vorliegt?
Es sind 20. Aber ja, das sind sie.
> c)Soll ich da einen Teil der Permutation [mm]\sigma[/mm]
> auswählen?
Nein.
> Eine Untergruppe der Ordnung 4 wäre zb die Permutation
> (2 11 9 6).
Ja, aber warum liegt diese in [mm] $\langle \sigma \rangle$? [/mm] (Das tut sie naemlich nicht.)
Beachte, dass die Ordnung von [mm] $\sigma^m$ [/mm] gerade [mm] $\frac{ord(\sigma)}{ggT(ord(\sigma), m)}$ [/mm] ist. Wann ist dieser Ausdruck gleich 4? Dann hast du einen Erzeuger der vierelementigen Untergruppe und kannst diesen ausrechnen, und damit auch die anderen Elemente.
> d) Da die Ordnung von [mm]\sigma[/mm] 40 ist gilt:
> [mm]\sigma^{803}[/mm] = [mm]\sigma^{3}[/mm]
> [mm]\simga^{3}[/mm] = (1) (2 6 9 11) (3 10 7 12 8) (4 5)
Genau nachgerechnet habe ich das nicht, aber das Prinzip stimmt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Yogi1988 |
okay das KGV ist 20, da die 4 die 2 bereits enthält.
Deine Formel verstehe ich nicht so recht.
[mm] ord(\sigma) [/mm] = 20
dementsprechend ist 20 / ggt(20, 5) = 4
komme ich so darauf, dass [mm] \sigma^{5} [/mm] das gesuchte Anfangselement der Untergruppe ist?
Wenn ich es richtig verstehe suche ich eine Untergruppe der Ordnung 4 von [mm] <\sigma>.
[/mm]
Diese muss abgeschlossen sein, das neutrale element enthalten und zu jedem element ein inverses Element enthalten.
eine mögliche Untergruppe wäre:
[mm] {\sigma^{5} , \sigma^{10} , \sigma^{15} , \sigma^{0} }
[/mm]
kommt das hin?
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> okay das KGV ist 20, da die 4 die 2 bereits enthält.
>
> Deine Formel verstehe ich nicht so recht.
>
> [mm]ord(\sigma)[/mm] = 20
> dementsprechend ist 20 / ggt(20, 5) = 4
> komme ich so darauf, dass [mm]\sigma^{5}[/mm] das gesuchte
> Anfangselement der Untergruppe ist?
> Wenn ich es richtig verstehe suche ich eine Untergruppe der
> Ordnung 4 von [mm]<\sigma>.[/mm]
Laut der Aufgabenstellung schon
> Diese muss abgeschlossen sein, das neutrale element
> enthalten und zu jedem element ein inverses Element
> enthalten.
> eine mögliche Untergruppe wäre:
>
> [mm]{\sigma^{5} , \sigma^{10} , \sigma^{15} , \sigma^{0} }[/mm]
>
> kommt das hin?
Sag du es. Ist das folgende erfüllt:
> Diese muss abgeschlossen sein, das neutrale element
> enthalten und zu jedem element ein inverses Element
> enthalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Yogi1988 |
danke für die Hilfen !
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