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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:38 Sa 16.04.2011 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Für [mm]n \geq 1[/mm] sei [mm]s_2(n)[/mm] die Anzahl derjenigen Permutationen der Menge N = {1,2,3,...,n}, die Produkt von genau 2 disjunkten Zyklen sind. (Hierbei zählen wir einen Fixpunkt auch als Zyklus.)
(a) Zeigen Sie:
[mm]s_2(n) = \bruch{1}{2}\summe_{k=1}^{n-1} \left{{n \choose k}} (k-1)!(n-k-1)![/mm]
(b) Folgern Sie aus (a), dass
<span class="math">[mm]s_2(n) = \bruch{n!}{2}\summe_{k=1}^{n-1} \left \bruch{1}{k(n-k)}[/mm]
(c) Zeigen Sie, zum Beispiel per vollständiger Induktion, dass für alle [mm]n,k \in \IN[/mm] mit <span class="math">[mm]n \geq 1[/mm] und <span class="math">[mm]1 \leq k \leq n - 1[/mm] gilt: </span>[mm]k(n-k) \geq n - 1[/mm]
(d) Zeigen Sie, dass [mm]s_2(n) \leq \bruch{n!}{2}[/mm] gilt.
(e) Bestimmen Sie alle Permutationen von N, die Produkt von genau zwei Zyklen sind, für [mm]n \in \left \{ 1,2,3,4 \right \}[/mm] und verifizieren Sie damit, dass in diesen Fällen die Formel aus (b) richtig ist.</span></span> |
Hallo zusammen!
Eigentlich suche ich zunächst erstmal einen Ansatz. Denn leider verstehe ich ja absolut gar nicht, worum es hier überhaupt geht! Wie kann ich denn z.B. das was unter (a) steht, "zeigen" (=Beweisen?)??
Danke für jede Hilfe!!!
Viele Grüße
Max
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Hallo,
zu a) kann ich dir leider nicht helfen. b) lässt sich aber mit wenigen Umformungen zeigen.
[mm] b)\bruch{1}{2} \summe_{k=1}^{n} \vektor{n\\k}(k-1)! [/mm] (n-k-1)!
[mm] =\bruch{1}{2} \summe_{k=1}^{n} \bruch{n! (k-1)!(n-k-1)!}{k!(n-k)!} [/mm] (<- Binomialkoeffizient ausschreiben)
[mm] =\bruch{1}{2}\summe_{k=1}^{n}\bruch{n!}{k(n-k)} [/mm] (<- kürze einmal (n-k-1)! mit (n-k)! und) (k-1)! mit k!)
Hoffe, ich konnte dir helfen.
Gruß,
spongegar
[mm] =\bruch{n!}{2}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(n-k)} [/mm] q.e.d.
c) sicher, dass es nicht [mm] \le [/mm] heißt?
wenn ich n=1 einsetze, kommt bei mir [mm] k\ge k^{2} [/mm] raus, was bei einem k [mm] \ge [/mm] 1 nicht sein kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 So 17.04.2011 | | Autor: | Phileas |
Wenn du nicht alles beantworten kannst, warum setzt du dann den Status auf "fertig"?
Kann leider bei der a) auch nicht helfen, aber die b) sieht soweit ganz gut aus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 17.04.2011 | | Autor: | spongegar |
...weil ich's übersehn hab! Sorry 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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